Page personnelle de Rodolphe Garbit

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Publications

Articles

A family of Fourier transform's eigenfunctions, avec Julien-Bilal Zinoune. [HAL]
Random walks with drift inside a pyramid: convergence rate for the survival probability, avec Kilian Raschel.
ALEA, Lat. Am. J. Probab. Math. Stat. Vol. 20, 973-988 (2023). [arxiv] [Journal]

On considère des marches aléatoires dans des pyramides, c'est-à-dire des cônes qui sont une intersection finie de demi-espaces. La quantité d'intérêt est la probabilité de survie \( P( \tau>n) \), où \( \tau \) est le temps de sortie d'une pyramide fixée. Lorsque l'accroissement moyen de la marche est à l'intérieur de la pyramide, la suite des probabilités de survie converge vers une limite \( P(\tau = \infty) \) non nulle. Dans ce papier, on détermine la vitesse de convergence et l'on démontre que le taux de convergence exponentiel se calcule via un certain min-max de la transformée de Laplace. Les résultats sont illustrés par de nombreux exemples.
The generating function of the survival probabilities in a cone is not rational, avec Kilian Raschel.
Séminaire Lotharingien de Combinatoire 87B(11):1-28, 2023. [HAL] [Journal]

Dans cet article, on considère des marches aléatoires \( (S_n)_{n\geq 0} \) dans des cônes convexes, et l'on étudie la nature rationnelle ou non de la fonction génératrice des probabilités de survie \( p_n= P(\tau>n) \), où \( \tau \) est le temps de sortie d'un cône fixé. Cette étude est motivée par deux aspects. D'une part, nous contribuons à l'effort global déployé par la communauté combinatoire pour déterminer la nature algébrique des séries comptant les chemins confinés dans des cônes. D'autre part, la question de la rationalité de la fonction génératrice est fortement reliée au comportement asymptotique des nombres \( p_n \). En affinant les estimées obtenues dans nos précédents travaux dans le cas d'un drift extérieur au cône, et en découvrant de nouvelles estimées dans le cas d'un drift intérieur, nous démontrons que cette fonction génératrice n'est presque jamais rationnelle.
On the exit time from an orthant for badly oriented random walks
Brazilian Journal of Probability and Statistics Vol. 32 (2018), no. 1, p. 117-146. [HAL] [Journal]

Ce travail complète l'étude menée dans l'article ci-dessous. Plus précisément, il traite le cas des marches dont le support est dégénéré relativement au cône considéré, c'est-à-dire celles dont la transformée de Laplace n'a pas de minimum dans le cône dual.
On the exit time from a cone for random walks with drift, avec Kilian Raschel.
Revista Matemática Iberoamericana Vol. 32 (2016), no. 2, p. 511-532. [HAL] [Journal]

Dans cet article, on s'intéresse au taux exponentiel de décroissance de la probabilité qu'une marche aléatoire avec dérive reste dans un cône fixé jusqu'à l'instant \(n\). Pour une marche aléatoire possédant tous les moments exponentiels, et dont le support satisfait une condition simple de non-dégénérescence vis-à-vis du cône considéré, nous démontrons que le taux exponentiel est donné par le minimum de la transformée de Laplace sur le cône dual. Ce résultat résout en particulier le problème du calcul du taux de croissance du nombre de chemins (de longueur \(n\)) confinés dans un orthant.
On the exit time from a cone for Brownian motion with drift, avec Kilian Raschel.
Electronic Journal of Probability Vol. 19 (2014), no. 63, p. 1-27. [HAL] [Journal]

Nous nous intéressons ici à la queue de la loi du temps de sortie d'un cône pour le mouvement brownien avec dérive et déterminons son asymptotique pour une grande famille de cônes. Nos résultats montrent en particulier que le taux de décroissance exponentiel est une fonction de la distance entre la dérive et le cône, tandis que la partie polynômiale de l'asymptotique dépend, plus subtilement, de la position de la dérive vis-à-vis du cône et de son cône polaire, et reflète la géométrie locale du cône là où la dérive se projette orthogonalement.
A central limit theorem for two-dimensional random walks in a cone
Bulletin de la SMF Vol. 139 (2011), no. 2, p. 271-286. [HAL] [Journal]

Le méandre d'un cône de l'espace euclidien est un processus obtenu à partir du mouvement brownien en le conditionnant à rester dans ce cône durant une unité de temps. Lorsque le cône est un demi-espace, on retrouve le méandre brownien usuel. Je démontre qu'une marche aléatoire conditionnée à rester dans un cône du plan converge en loi vers le méandre correspondant si et seulement si la queue de la loi du temps de sortie du cône est à variation régulière. Cette condition est satisfaite dans de nombreuses situations.
A note on Furstenberg's filtering problem
Israel Journal of Mathematics Vol. 182 (2011), p. 333-336. [HAL] [Journal]

Cette courte note résout une vieille question de H. Furstenberg en lien avec un problème de filtrage : si \(X_1\), \(X_2\), \(Y_1\) et \(Y_2\) sont quatre variables aléatoires réelles vérifiant \(X_1+Y_1=X_2+Y_2\) et telles que chaque \(X_i\) soit indépendante de chaque \(Y_j\), est-il vrai que l'égalité des lois de \(X_1\) et \(X_2\) implique \(X_1=X_2\) ?
Brownian motion conditioned to stay in a cone
J. Math. Kyoto Univ. Vol. 49 (2009), no. 3, p. 573-592. [HAL] [Journal]

À la manière de Durrett, Iglehart et Miller dans Weak convergence to Brownian meander and Brownian excursions (1977), je construis -via un théorème limite- le méandre d'un cône, c'est-à-dire un mouvement brownien issu du sommet d'un cône et conditionné à rester dans ce cône durant une unité de temps. Quelques propriétés de ce processus sont établies, notamment la loi de son temps de sortie du cône après la fin du conditionnement.
Temps de sortie d'un cône pour une marche aléatoire centrée
C.R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. Vol. 345 (2007), no. 10, p. 587-592. [Journal]

Dans cette note, on s'intéresse à la probabilité pour qu'une marche aléatoire se trouve à l'instant \(n\) dans une large boule centrée en l'origine sans avoir jamais quitté un cône fixé. On démontre que pour une marche aléatoire centrée et de carré intégrable, cette probabilité ne décroît pas exponentiellement vite.

Thèse

Comportement asymptotique d'une marche aléatoire centrifuge et théorèmes limite
pour des processus aléatoires conditionnés [pdf]
Thèse de doctorat sous la direction d'Emmanuel Lesigne et de Marc Peigné, octobre 2008.

Exposés

Nov. 2023. Sur la vitesse de convergence de la probabilité qu'une marche aléatoire sorte d'un cône après l'instant \( n\)
Conférence "Combinatoire elliptique et au delà!", Cargèse, Corse.
Mai 2019. On the exit time from a cone for random walks with drift
Conférence "Théorie ergodique, probabilités et interactions. Journées en l'honneur d'Emmanuel Lesigne", Tours.
Juin 2016. Compter les chemins confinés dans un quadrant : vertus de l'approche probabiliste
Groupe de travail "Les probas du vendredi", LPMA, Paris.
Jan. 2016. From lattice paths in the quarter plane to random walks in cones
SFU Discrete Mathematics Seminar & UBC Probability seminar, Vancouver.
Jan. 2014. Sur le temps de sortie d'un cône pour des marches aléatoires avec dérive
Séminaire de Probabilités et Théorie Ergodique, Tours.
Oct. 2013. Sur le temps de sortie d'un cône pour des marches aléatoires avec dérive
Séminaire triangulaire, Le Mans.
Fév. 2012. Convergence to the Brownian meander of a cone
Workshop ''Scaling limits of random walks in the quarter plane'', EURANDOM, Eindhoven.

Organisation de conférences

Ces dernières années, j'ai participé activement à l'organisation des conférences suivantes :

Les Journées de Probabilités 2023 se sont tenues à Angers du 19 au 23 juin 2023. Il s'agit d'un rendez-vous annuel important de l'école de probabilités francophone. Cette conférence existe depuis 50 ans et est organisée chaque année par une université différente. Nous avons accueilli 60 participants. Conférence organisée avec Fabien Panloup et Kilian Raschel. Lien : site web
La conférence Branching Processes and their Applications qui a eu lieu à Angers du 22 au 26 mai 2023 est une conférence internationale qui a regroupé durant 5 jours certains des meilleurs spécialistes des processus de branchements. Nous avons accueilli 70 participants. Conférence organisée avec Loïc Chaumont. Lien : site web
Probabilistic and Numerical Methods for Machine Learning (Angers, 1-3 juin 2022, environ 20 participants) avec Fabien Panloup. Lien : site web
Branching and Persistance (Angers, 14-16 mars 2022, 27 participants) avec Loïc Chaumont et Kilian Raschel. Lien : site web
8th International Conference on Lévy Processes (Lévy 2016, Angers, 25-29 Juillet 2016, environ 90 participants) avec Loïc Chaumont. Lien : site web
Stochastic Models in Ecology, Evolution and Genetics (Angers, 9-13 décembre 2013, environ 70 participants) avec Loïc Chaumont. Lien : site web

Depuis 2021, j'organise au mois de décembre une Masterclass destinée à des étudiants de M2, doctorants et post-doctorants. On accueille à Angers une quarantaine d'étudiants répartis sur deux cours et provenant en majorité du grand-ouest, mais aussi plus largement de toute la France et de l'étranger. Cette Masterclass est organisée dans le cadre du Centre Henri Lebesgue. Les trois sessions que j'ai organisées sont consultables ici :

J'ai aussi organisé 4 sessions du \emph{Séminaire Triangulaire} (séminaire inter-universités regroupant : Angers, Le Mans, Brest, Rennes, Vannes) et 2 sessions du \emph{Séminaire Tournant de Probabilités et Statistique du Val de Loire} (séminaire inter-universités regroupant : Angers, Le Mans, Nantes, Orléans, Poitiers, Tours).

Le site du Séminaire tournant de probabilités se trouve ici

Les programmes des dernières sessions angevines du Séminaire triangulaire de probabilités sont ici :