STRUCTURE DE CONTACT ET ÉQUATIONS DE MONGE-AMPÈRE.

VLADIMIR ROUBTSOV

Dans toute la suite M désigne une variété de classe C^{∞}, de dimension n, connexe et sans bord, q = (q_{1}, ..., q_{n}) est un systéme de coordonnées locales dans M et C^{∞} l’algébre des fonctions de classe C^{∞}(M) à valeurs réelles.

1. La variété des jets J^{m}(M)

Soit q un point de M, on note E(q) la ℝ-algébre des germes de fonction C^{∞} en q et μ_{q} l’idéal maximal des germes qui s’annulent en q. Dans toute la suite on identifie les deux quotients suivants:

C^{∞}(M)/μ_{q} = E(q)/μ_{q}.

On va désigner par

μ_{q}^{m} = {f ∈ C^{∞}(M)|f = ∑_{(i_{1},...,i_{m})} g_{i_{1}}..g_{i_{m}}; g_{i_{s}} ∈ μ_{q}} , μ_{q}^{∞} = ∪_{m≥1}μ_{q}^{m}

m-ı‘eme degré de l’idéal μ_{q} .

Définition 1.1. Une fonction f ∈ C^{∞}(M) s’appélle m-platte en q si f ∈ μ_{q}^{m+1}. Si k = ∞f est dite platte en q.

Notons que f ∈ μ_{q}^{m+1} si et seulement si \frac{∂^{|σ|}f}{∂q_{1}^{σ_{1}}...∂q_{n}^{σn}} = 0 en q dans un système de coordonnées (q_{1}, ..., q_{n}) quelconques et pour n’importe quel multiindice σ = (σ_{1}, ..., σ_{n}), |σ| ≤ m. Désignons par J_{q}^{m}(M) l’anneau quotient J_{q}^{m}(M) = C^{∞}(M)/μ^{m+1}(q).

Définition 1.2. L’image de f ∈ C^{∞}(M) dans J_{q}^{m}(M) par la projection naturelle C^{∞}(M) ↦ J_{q}^{m}(M) s’appelle m-jet de f en q et se note par j_{m}(f)|_{q}.

Soit (q_{1}, ..., q_{n}) un systéme de coordonnées locales au voisinage de q, alors nous pouvons choisir comme représentant d’une classe en j_{m}(f)|_{q} le morceau de la série de Taylor de f jusqu’à l’ordre m, donc les éléments de J_{q}^{m}(M) peuvent se consevoir comme des morceaux de séries de Taylor en q jusqu’à l’ordre m des fonctions lisses. En désignant par J^{m}(M) := ⋃_{q∈M} J_{q}^{m}(M) démontrons

Théorème 1.1. L’ensemble J^{m}(M) est une variété lisse pour 0 ≤ m < ∞.

Preuve: Soit (q_{1}, ..., q_{n}) un systéme de coordonnées locale au voisinage U ⊂ M. L’espace vectoriel J_{q}^{m}(M), q ∈ U admet les coordonnées p_{σ}, σ = (σ_{1}, ..., σ_{n}), |σ| ≤ m par rapport à la base j_{m}(1)|_{q}, j_{m}(q_{i}−q_{i}^{0})|_{q}, ..., j_{m}((q_{i}−q_{i_{1}}^{(0)})^{σ_{1}}...(q_{i}−q_{i_{m}}^{(0)})^{σ_{n}}|_{q}, où q_{i}^{(0)} = q_{i}(q) sont les coordonnées de q.

L’élément j_{m}(f)|_{q} s’écrit dans ces coordonnées comme

j_{m}(f)|_{q} = (f(q), \frac{∂f}{∂q_{1}} |_{q}, ..., \frac{∂^{|σ|}f}{∂q_{1}^{σ_{1}}...∂q_{n}^{σ_{n}}} |_{q}, ...) ,

où

p_{σ}(j_{m}(f)|_{q}) = \frac{∂^{|σ|}f}{∂q_{1}^{σ_{1}}...∂q_{n}^{σ_{n}}} |_{q}.

Alors on peut introduire des coordonnées dans l’ensemble Ū = ⋃_{q∈U} J_{q}^{m}(M) étant ouvert dans J^{m}(M). Chaque point x ∈ Ū est défini ”univoquement” par un point q ∈ U tel que x ∈ J_{q}^{m}(M) et par les coordonnées p_{σ} de x dans J_{q}^{m}(M).

Cela veut dire que le point x ∈ Ū est ”univoquement” défini par l’ensemble (q_{1}, ..., q_{n}, p_{σ}, |σ| ≤ m), où (q_{1}, ..., q_{n}) sont les coordonnées de q tel que x ∈ J_{q}^{m}(M).

Si x ∈ U_{1} ∩U_{2} et ses coordonnées (q_{1}^{(1)}, ..., q_{n}^{(1)}) dans U_{1} et (q_{1}^{(2)}, ..., q_{n}^{(2)}) dans U_{2} ont des fonctions de transition lisses on vérifie aisément que les fonctions de transition de coordonnées (q_{1}^{(1)}, ..., q_{n}^{(1)}, p_{σ}^{(1)}) aux coordonnées (q_{1}^{(2)}, ..., q_{n}^{(2)}, p_{σ}^{(2)}) sont aussi lisses. c q f d

Définition 1.3. L’ensemble J^{m}(M) munit la structure lisse ci-dessus s’appelle la variété des m-jets des fonctions lisses sur M.

Soit F : M ↦ N une application lisse des variétées, alors l’homomorphisme des anneaux F^{∗} : C^{∞}(N) ↦ C^{∞}(M), F^{∗}(f) = f ∘ F se prolonge aux quotients J_{p}^{m}(F) : J_{p}^{m}(N) ↦ J_{q}^{m}(M), F (q) = p tel que

[J_{p}^{m}(F)](j_{m}(f)|_{p}) = j_{m}(F^{∗}(f))|_{q}.

d’oú il découle l’existence de l’application lisse J^{m}(F) : J^{m}(N) ↦ J^{m}(M).

On considère les projections naturelles π_{m} : J^{m}(M) ↦ M, π_{m,l} : J^{m}(M) ↦ J^{l}(M), m ≥ l données par les relations

π_{m}(j_{m}(f)|q) = q, π_{m,l}(j_{m}(f)|q) = j_{l}(f)|q.

Ici nous pouvons considérer l’application j_{m}(f) : M ↦ J^{m}(M) associée à une fonction lisse f comme une section lisse parce que

Proposition 1.1. Le quadruplet (J^{m}(M), π_{m}, M, J_{q}^{m}(M) est un fibré vectoriel

Preuve: On obtient sans peine que pour l’ouvert U ⊂ M ci-dessus il y a un diagramme commutatif

\begin{matrix}π_{m}^{−1}(U) & ⟶ U × J_{q}^{m}(M) \\ ↓ π_{m} \\ U \end{matrix} [figure]

Le fibre dans un point q ∈ M est bien J_{q}^{m}(M) avec la structure linéaire naturelle (c’est un quotient de deux espaces vectoriels). Puisque par définition la composition π_{m} ∘ j_{m}(f) = Id l’application j_{m}(f) est vraiment une section du fibré ci-dessus.

L’ensemble des sections lisses a une structure de C^{∞}(M)-module. On note les modules correspondants aux fibrés des jets par J^{m}(M). Alors la projection π_{m,l} définit un morphisme de modules:ν_{m,l} : J^{m}(M) ↦ J^{l}(M) pour m ≥ l.

Exemple 1.1. Soit m = 0, alors J_{q}^{0}(M) = ℝ^{1} et π_{0} : J^{0}(M) ↦ M le fibré linéaire sur M. La section j_{0}(1) : M ↦ J^{0}(M), [j_{0}(1)](q) = j_{0}(1)|_{q} est une trivialisation de π_{0} alors J^{0}(M) = M × ℝ^{1} et J^{0}(M) = C^{∞}(M)

1.1. Le fibré des 1-jets J^{1}(M). On pose J_{q}^{1}(M) = E(q)/μ^{2}(q), où μ^{2}(q) est l’idéal des germes qui s’annulent a l’ordre 2 en q.

Lemme 1.1. J_{q}^{1}(M) est un espace vectoriel de dimension n + 1

Preuve: C’est une conséquence directe de la formule de Taylor. c q f d Comme μ(q)/μ^{2}(q) = T_{q}^{∗}(M), oú T_{q}^{∗}(M) est l’espace duale à l’espace tangent

en q (dit espace cotangent) nous obtenons une chaine d’isomorphismes des espaces vectoriels:

J_{q}^{1}(M) = E(q)/μ^{2}(q) = (μ(q) × ℝ)/μ^{2}(q) = (μ(q)/μ^{2}(q)) × ℝ = T_{q}^{∗}(M) × ℝ.

On pose J^{1}(M) = ⋃_{q∈M}J_{q}^{1}(M).

Proposition 1.2. J^{1}(M) est un fibré vectoriel de rang n + 1.

Preuve: Il suffit démontrer que dim J_{q}^{1}(M) = 2n + 1.

Soit (q_{1}, ..., q_{n}) les coordonnées locales de M alors les coordonnées (q_{1}, ..., q_{n}, p_{σ}) dans le cas actuel sont bien (q_{1}, ..., q_{n}, p_{1}, ..., p_{n}) car |σ| = 1. c q f d

Soit (q, u, p) := (q_{1}, ..., q_{n}, u, p_{1}, ..., p_{n}) les coordonnées locales de J^{1}(M) associées à q = (q_{1}, ..., q_{n}) et π_{1} : J^{1}(M) ↦ M la projection naturelle π_{1}(q, u, p) = q alors une autre projection α : J^{1}(M) ↦ T^{∗}M est donnée par la relation locale α(q, u, p) = (q, p)

Soit h_{q} le germe de la fonction h ∈ C^{∞}(M) en q et j^{1}(h)(q) la classe d’équivalence de h_{q} dans E(q)/μ^{2}(q). Ainsi on définit une application j_{h}^{1} : M ↦ J^{1}(M) qui s’écrit en coordonnées locales comme

j_{h}^{1}(q) = (q, h(q), \frac{∂h}{∂q}(q)).

On a Proposition 1.3. j_{h}^{1} : M ↦ J^{1}(M) est une section lisse du fibré des 1-jets π_{1} : J^{1}(M) ↦ M

Preuve: La composition π_{1} ∘ j_{h}^{1} est une application identique: π_{1} ∘ j_{h}^{1}(q) = q.

c q f d

L’isomorphisme d’espaces vectoriels définit des isomorphismes des fibrés J^{1}(M) = T^{∗}(M) × ℝ et des modules J^{1}(M) = Λ^{1}(M) ⊕ C^{∞}(M). Notons β : J^{1}(M) ↦ ℝ la projection β(u, q, p) = u.

On a le diagramme commutatif des fibrés:

\begin{aligned}ℝ & ⟵^{β} J^{1}(M) & ⟶^{α} T^{∗}(M) \\ & ↑ j_{1}(f) \\ & M \end{aligned} [figure: d(f)]

et le diagramme correspondant des C^{∞}(M) -modules. Alors les éléments de J^{1}(M) sont de couples (ω, f), ω ∈ Λ^{1}(M), f ∈ C^{∞}(M) et le morphisme de C^{∞}(M)-modules j_{1}(f) : C^{∞}(M) ↦ J^{1}(M) s’écrit comme j_{1}(f) = (f, df).

1.2. Opérateur de Spencer. Considérons l’opérateur D : J^{1}(M) ↦ Λ^{1}(M) qui en utilisant la decomposition ci- dessus s’écrit D(ω, f) = df − ω.

Proposition 1.4. L’opérateur D satisfait à deux propriéteés:

1) C’est un opérateur naturel i.e. quelle que soit application lisse F : M ↦ N on a F^{∗} : C^{∞}(N) ↦ C^{∞}(M) le morphisme d’anneaux correspondant, alors il y a un morphisme de modules J^{1}(F) : J^{1}(N) ↦ J^{1}(M) au dessus du morphisme d’anneaux F^{∗}:

[J^{1}(F)(s)](q) = [J_{p}^{1}(F)](s(p)), p = F (q)

et le diagramme suivant est commutatif (c’est la naturalité de D)

\begin{matrix}J^{1}(N) & ⟶^{J^{1}(F)} J^{1}(M) \\ ↓ D & ↓ D \\ Λ^{1}(N) & ⟶^{F^{∗}} Λ^{1}(M) \end{matrix}

2) La suite (”la suite de Spencer”)

0 ⟶ C^{∞}(M) ⟶^{j_{1}} J^{1}(M) ⟶^{D} Λ^{1}(M) ⟶ 0

est exacte.

Preuve: la propriété 2) résulte directement de la définition D : le couple (f, ω) ∈ Ker D si ω = df et l’image d’application j_{1} : C^{∞}(M) ↦ Λ^{1}(M) ⊕ C^{∞}(M) = J^{1}(M) se constitue des couples (f, df). La première découle facilement de la naturalité de l’opérateur de la dérivée extérieure.

c q f d

Définition 1.4. L‘opérateur D s’appelle l’opeŕateur de Spencer.

2. Structure de contact sur J^{1}(M)

2.1. La forme U_{1}. Soient α : J^{1}(M) ↦ T^{∗}(M), β : J^{1}(M) ↦ ℝ les projections ci-dessus.

Rapellons la définition de la forme de Liouville de T^{∗}(M). Soit ξ ∈ T_{q}^{∗}(M) un covecteur (= une fonctionelle linéaire sur l’espace tangente T_{q}M en q ∈ M). Si X ∈ T_{ξ}(T^{∗}M) est un vecteur tangent à T^{∗}M au point ξ la projection naturelle π : T^{∗}M ↦ M définit un vecteur π_{∗}(X) ∈ T_{q}M tangent à M(”l’image directe de X”) en q. Introduisons une 1-forme ρ ∈ Λ^{1}(T^{∗}M) comme suit:

ρ_{ξ}(X) = ξ(π_{∗}(X)) = ⟨ξ, π_{∗}(X)⟩.

Définition 2.1. La forme ρ s’appélle la forme de Liouville (où la ”1-forme d’action”, où la 1-forme canonique de T^{∗}M)

La forme de Liouville ρ s’écrit dans les coordonnées (q, p) de T^{∗}M comme ρ = ∑_{i=1}^{n} p_{i}dq_{i} et sa différentielle dρ = ∑_{i=1}^{n} dp_{i} ∧ dq_{i} = dp ∧ dq définit la structure symplectique canonique dans T^{∗}M.

Nous définissons une 1-forme (dite ”universelle”) U_{1} ∈ Λ^{1}(J^{1}(M)) comme la différence β^{∗}(du) − α^{∗}(ρ) oú β^{∗}(du) est une 1-forme dans J^{1}(M) = T^{∗}M × ℝ ”relative” à ℝ. Autrement dit la forme U_{1} est la valeur de l’opérateur de Spencer sur un élément spécial de J^{1}(M):

U_{1} = D(ρ̄), ρ̄ = (u, ρ) ∈ J^{1}(J^{1}(M)) = C^{∞}(J^{1}(M)) ⊕ Λ^{1}(T^{∗}M).

Remark 1. La fonction u ∈ C^{∞}(J^{1}(M)) ci-dessus est indépendante de coordonnées et l’on peut l’exprimer comme la composition de deux projections u = π̄_{0} ∘ π_{1,0}:

\begin{aligned}J^{1}(M) & ⟶^{π_{1,0}} J^{0}(M) = M × ℝ^{1} \\ & ↓ π̄_{0} \\ & ℝ^{1} \end{aligned} [figure: u]

On en déduit que l’expression de U_{1} en coordonnées locales (u, q, p) est U_{1} = du − ∑_{i=1}^{n} p_{i}dq_{i}.

On utilise la forme U_{1} pour donner un critère ”d’intégrabilité ” pour une section lisse s ∈ J^{1}(M):

Proposition 2.1. Une section s du fibré J^{1}(M) est la section associée au 1-jet d’une fonction h ∈ C^{∞}(M) i.e. s = j_{1}(h) (également : est un graphe du 1-jet d’une fonction h) si et seulement si s^{∗}(U_{1}) = 0.

Preuve: Soit s = j_{1}(h) pour une fonction h ∈ C^{∞}(M) alors D(s) = 0 en vertu de l’exactitude de la suite de Spencer. Maintenant, s^{∗}(U_{1}) = s^{∗}(D(ρ̄) = D(s^{∗}(ρ̄) = 0 donc (s^{∗}(ρ̄) ∈ Imj_{1} d’où on obtient l’existence d’une fonction h ∈ C^{∞}(M) telle que s^{∗}(ρ̄) = s^{∗}(u, ρ) = (h, dh).

c q f d

La propriété la plus importante de la forme U_{1} est l’existence d’une structure géométrique sur J^{1}(M) donnée par U_{1}. Cette structure s’appélle structure de contact.

2.2. Distributions. Nous rappellons la noion générale des distributionse sur une variété.

Définition 2.2. Une distribution C de dimension k sur une variété lisse M est un champ lisse de sous-espaces d’espace tangent C ⊂ T M : C(q) ⊂ T_{q}M, dimC(q) = k quelque soit q ∈ M. Il s’agit de lissité C(q) comme une fonction lisse de q.

Il y a deux déscriptions équivalents (”duales”) pour des distributions : en langage de champs de vecteurs et l’autre avec des formes différentielles

Comme nous utiliserons les deux approches, nous les décrivons brievement. Notons D(M) le C^{∞}(M)-module des sections du fibré tangent T M(= algébre de Lie des champs de vecteurs tangents à M .)

Soit D(C) = {X ∈ D(M), X_{q} ∈ C(q)} quelque soit q ∈ M. D(C) est aussi un module localement libre sur C^{∞}(M). Si X_{1}, ..., X_{k} est une base de C(q) quelque soit q ∈ U pour tout voisinage U ⊂ M, on note D(C) = F ⟨X_{1}...X_{k}⟩.

En ”dualisant” considérons l’ensemble des ”zéros” des 1-formes

Λ(C) = {ω ∈ Λ^{1}(T^{∗}M) : ω(X) = 0}

quelque soit X ∈ D(C).

Exemple 2.1. Soit M = ℝ^{2} avec les coordonnées (u, q). Une équation différentielle ordinaire u′ = f(q, u) donnée une distribution unidimensionelle C.

D(C) ⊂ T M = T ℝ^{2}, D(C) = \{X ∈ D(ℝ^{2}), X = \frac{∂}{∂q} + f(q, u)\frac{∂}{∂u}\} .

La déscription duale s’agit du module

Λ(C) = {ω ∈ Λ^{1}(ℝ^{2})^{∗}, ω = du − f(q, u)dq} .

Exemple 2.2. (”Distribution de contact dans ℝ^{2n+1}”)

Soit M = ℝ^{2n+1} avec les coordonnées (q, p, u). Considérons une distribution C, dimC = 2n telle que

D(C) = F ⟨X_{1}, ..., X_{n}, Y_{1}, ..., Y_{n}⟩

X_{i}, Y_{i} ∈ D(ℝ^{2n+1}) : X_{i} = \frac{∂}{∂q_{i}} + p_{i} \frac{∂}{∂u}, Y_{i} = \frac{∂}{∂p_{i}} , i = 1, ..., n.

Le module duale est donne par la forme ω = du − ∑_{i=1}^{n} p_{i}dq_{i}.

Définition 2.3. La distribution C de dimension k sur M est intégrable si quelque soit q ∈ M il existe une sous-variété N ⊂ M de même dimension telle que q ∈ N et T_{q}N ⊂ C(q).

Le théorème suivant de Frobenius donne deux critères équivalents d’intégrabilité Théorème 2.1. Une distribution C de dimension k sur une variété M est intégrable si et seulement si les deux conditions équivalentes sont satisfaites:

(A) Le module D(C) est une algébre de Lie, c’est-à-dire

[X_{i}, X_{j}] = ∑_{l=1}^{k} C_{ij}^{l}X_{l}, i = 1, ..., k

pour une base locale de C; (B) Quelque soit la forme ω_{i} ∈ Λ(C) la différentielle

dω_{i} = ∑_{j=1}^{n−k} γ_{i}^{j} ∧ ω_{j}, i = 1, ..., n − k

ou autrement dit, la forme dω appartient à l’idéal d’algèbre extérieure engendré par Λ(C).

La distribution C d’exemple 2.1 est une distribution intégrable:

Exemple 2.3. Par (B) du critér dω = −f′_{u}du ∧ dq = −f′_{u}(ω + fdq) ∧ dq = −ω ∧ f′_{u}dq

Par contre, la distribution de contact est une distribution non-intégrable deja pour n = 1:

Exemple 2.4. Soit M = ℝ^{3}, X = \frac{∂}{∂q} + p\frac{∂}{∂u}, Y = \frac{∂}{∂p}. La forme duale est ω = du − pdq, i_{X}(ω) = ω(X) = 0.

Par (A):

[X, Y] = [\frac{∂}{∂q} + p\frac{∂}{∂u}, \frac{∂}{∂p}] = [\frac{∂}{∂p}, p\frac{∂}{∂u}] = −\frac{∂}{∂u}

mais si −\frac{∂}{∂u} = λ\frac{∂}{∂q} + λp\frac{∂}{∂u} + μ\frac{∂}{∂p} alors μ = 0 et pour λ on constate aussitôt que λ = 0 et λ = p^{−1} ce qui est contradictoire;

(B) Soit dω = α ∧ ω pour une 1-forme α, alors ω ∧ dω = ω ∧ α ∧ ω = 0. Mais comme dω = −dp ∧ dq nous avons ω ∧ dω = −du ∧ dp ∧ dq ≠ 0 dans ℝ^{3}.

2.3. Structure de contact. Pour x = (q, p, u) ∈ J^{1}(M) notons C(x) le noyaux de la forme U_{1,x}. C’est un sous-espace vectoriel de dimension 2n de T_{x}(J^{1}(M)).

Lemme 2.1. La 2-forme (dU_{1})_{x} est non-dégénérée sur C(x).

Démonstration: Un vecteur tangent X en x = (q, u, p) à J^{1}(M) s’écrit

X = Q\frac{∂}{∂q} + U \frac{∂}{∂u} + P \frac{∂}{∂p}, Q, U, P ∈ C^{∞}(J^{1}(M)).

Alors l’équation de C(x) est U = pQ d’où l’on tire la non-dégénérescence de (dU_{1})|_{C(x)}.

On considère la distribution de dimension 2n correspondant C ⊂ T (J^{1}(M)) : x ↦ C(x).

Proposition 2.2. La distribution C est non-intégrable.

Preuve: Un application immédiate du théorème de Frobenius.

c q f d

Le module duale Λ(C) s’écrit par la forme U_{1}: si X ∈ D(C) nous pouvons écrire X = Q\frac{∂}{∂q} + pQ\frac{∂}{∂u} + P \frac{∂}{∂p} et evidement U_{1}(X) = 0.

Définition 2.4. On dit que J^{1}(M) est muni d’une structure de contact. La forme universelle U_{1} s’appélle la forme de contact de J^{1}(M)

3. Variétés lagrangiennes de T^{∗}M et legendriennes de J^{1}(M).

Définition 3.1. Une sous-variété L de l’espace cotangent T^{∗}M s’appelle une variété lagrangiénne si L est isotrope(i.e. Ω|_{L} = 0) et de dimension n.

L’analogue directe de cette notion pour la variété J^{1}(M) est la notion d’une variété de Legendre qui est une variété isotrope pour la structure de contact donnée par la forme U_{1}.

Définition 3.2. Une sous-variété L de l’espace des 1-jets J^{1}(M) , i : L ⊂ J^{1}(M) s’appélle une variété legendrienne (l’autre nom est R-variété) si L est isotrope(U_{1}|_{L} = i^{∗}(U_{1}) = 0) et de dimension n.

Exemple 3.1. Soit f ∈ C^{∞}(M) alors l’application j_{1}(f) : M ↦ J^{1}(M) est un plongement tel que j_{1}(f)^{∗}(U_{1}) = 0( proposition 2.1). Donc l’image L = j_{1}(f)(M) est une sous-variété de Legendre dans J^{1}(M).

Cet exemple est aussi evident car la relation j_{1}(f)^{∗}(U_{1}) = 0 s’écrit en coordonnées locales: df(q) − ∑_{i=1}^{n} \frac{∂f}{∂q_{i}} (q)dq_{i} = 0.

Nous décrivons une liaison directe entre variétés lagrangiénnes de T^{∗}M et variétés de Legendre dans J^{1}(M) en utilisant l’isomorphisme J^{1}(M) = T^{∗}M × ℝ. Les rapports entre les deux notions sont explicités dans le théorème suivant

Théorème 3.1. (A) Soit i : L ⊂ J^{1}(M) une sous-variété de Legendre. Alors pour chaque point x ∈ L il existe un voisinage ouvert O ⊂ L, x ∈ O dont la projection α ∘ i : O ↦ T^{∗}M est une sous-variété lagrangienne sur laquelle la forme de Liouville ρ est une 1-forme exacte;

(B) Pour chaque sous-variété de Lagrange connexe i_{1} : L_{1} ⊂ T^{∗}M il existe une sous-variété de Legendre i : L ⊂ J^{1}(M) telle que l’application α ∘ i : L ↦ L_{1} est un revêtement

Démonstration: (A) Soit α : J^{1}(M) ↦ T^{∗}M la projection de p. 1.1. Le noyaux V := Kerα_{∗,x} ⊂ T_{x}J^{1}(M) est unidimensionel. La restriction U_{1,x}|_{V} ≠ 0. En effet si (q, p, u) est un système de coordonnées dans un voisinage de x l’espace V est engendré par le vecteur \frac{∂}{∂u}|_{x} tel que U_{1}(\frac{∂}{∂u}|_{x}) = 1.

En suite, soit L ⊂ J^{1}(M) une sous-variété legendrienne et x ∈ L. Alors V ∩ T_{x}(L) = ⊘ comme U_{1,x}|_{T_{x}(L)} = 0 et l’application α_{∗,x} : T_{x}(L) ↦ T_{α(x)}(T^{∗}M) est injective. On en déduit l’existence du voisinage O ⊂ L. L’exactitude de ρ dans l’image α ∘ i : O ↦ T^{∗}M provient du calcul suivant:

(α ∘ i)^{∗}(ρ) = (α ∘ i)^{∗}(ν^{∗}(ρ̄)) = (ν ∘ α ∘ i)^{∗}(du − U_{1}) = d(i^{∗}(u)).

(B) Soit l_{0} ∈ L_{1} un point fixé. Pour chaque point x ∈ L_{1} et chaque chemin

γ : [0, 1] ↦ L_{1}, γ(t) = {x(t)|x(0) = l_{0}, x(1) = x} ,

on définit la fonction

S(γ, x) = ∫_{γ} i_{1}^{∗}(ρ)

qui, puisque la variété L_{1} est lagrangienne (dρ|_{L_{1}} = 0) ne dépend que de la classe [γ] d’homotopie de γ. Ca provient du théorème de Stockes. Alors l’union

L = ∪_{[γ],x}(x, S(γ, x)), (x, S(γ, x)) ∈ J^{1}(M)

est une sous-variété lisse dans J^{1}(M). La condition U_{1}|_{L} = 0 est automatiquement verifiée par construction. Finalement la restriction α|_{L} : L ↦ L_{1} est un difféomorphisme local. Calculons la pré-image d’un point x ∈ L_{1} : (α|_{L})^{−1}(x).

Notons χ : π_{1}(L_{1}) ↦ ℝ l’homomorphisme du groupe fondamental de L_{1} dans le groupe additif des réels:

χ(z) = ∫_{γ} i_{1}^{∗}(ρ), z = [γ] ∈ π_{1}(L_{1}).

Alors la fibre (α|_{L})^{−1}(x), x ∈ L_{1} est isomorphe au quotient π_{1}(L_{1})/Kerχ. c q f d

Exemple 3.2. Soit M = ℝ^{1}, L_{1} = {(q, p) ∈ T^{∗}ℝ^{1}|p^{2} + q^{2} = 1} alors L est une courbe hélicoidale sur le cylindre ℝ × S^{1}.

Exemple 3.3. (”Contre-exemple”) L’assertion (A) du théorème devient faux globalement. Soit s : ℝ^{1} ⊂ J^{1}(ℝ^{1}) la courbe

s(t) = \{t^{2} − 1, \frac{2}{15}t^{3}(3t^{2} − 5), t(t^{2} − 1)\}

On vérifie facilement que s^{∗}(U_{1}) = 0 tandis que la projection de la courbe sur T^{∗}ℝ^{1} est la courbe singuliere (t^{2} − 1, t(t^{2} − 1)) avec un point double.

4. Difféomorphismes de contact

Définition 4.1. Un difféomorphisme F : J^{1}(M) ↦ J^{1}(M) est dit de contact (resp. de contact strict) si F^{∗}(U_{1}) = fU_{1} pour une fonction f ∈ C^{∞}(J^{1}(M)) (resp. si F^{∗}(U_{1}) = U_{1}).

Exemple 4.1. Soit M = ℝ^{n} alors J^{1}(M) = ℝ^{2n+1} et nous avons les transformations F : J^{1}(M) = ℝ^{2n+1} ↦ J^{1}(M) = ℝ^{2n+1} suivantes:

1)Translations:

a)F (q, p, u) = (q + c, p, u + t), c ∈ ℝ^{n}, t ∈ ℝ^{1} et F^{∗}(U_{1}) = U_{1}; b)F (q, p, u) = (q, p + \frac{∂f}{∂q} , u + f), f ∈ C^{∞}(ℝ^{n}), F^{∗}(U_{1}) = U_{1}; 2)Transformations d’échelle: F (q, p, u) = (exp(λt)q, exp((ν−λ)t)p, exp(νt)u), λ, ν, t ∈ ℝ^{1}, F^{∗}(U_{1}) = exp(νt)U_{1}; 3)Transformations de Legendre: F (q, p, u) = (−p, q, u − pq), F^{∗}(U_{1}) = U_{1}

Proposition 4.1. Un difféomorphisme F : J^{1}(M) ↦ J^{1}(M) est un difféomorphisme de contact si et seulement si F_{∗,x}(C(x)) = C(F (x)), quelque soit x ∈ J^{1}(M) et C est la distribution de p.2.3.

Preuve: La condition est evidemment nécessaire, montrons qu’elle est suffisante. Pour cela considérons le champ de vecteurs X_{1} défini par les relations i_{X_{1}}U_{1} = 1, i_{X_{1}}dU_{1} = 0. La direction du champ est colinéaire à la direction de la dégénérescence de dU_{1}. Dans le système des coordonnées (q, p, u) le champ X_{1} = \frac{∂}{∂u}. Les trajectoires du champ sont les fibres de la projection α : J^{1}(M) ↦ T^{∗}M et le difféomorphisme F les préserve. On pose f = i_{X_{1}}F ∗ (U_{1}) et en remarquant que T_{x}(J^{1}(M)) = C(x) ⊕ ℝX_{1} on obtient que quelque soit Y ∈ T_{x}(J^{1}(M)), Y = P + λ_{x}X_{1}, F^{∗}(U_{1})(Y) = U_{1}(F_{∗,x}(Y)) = λ_{x} = f(x), d’où F^{∗}(U_{1}) − fU_{1} = 0.

c q f d

Le théorème ci-dessous donne une comparaison avec la théorie lagrangienne.

Théorème 4.1. Soit F : J^{1}(M) ↦ J^{1}(M) un difféomorphisme de contact strict. Il définit un difféomorphisme canonique F̄ : T^{∗}M ↦ T^{∗}M avec une fonction geńératrice S ∈ C^{∞}(T^{∗}M), F̄^{∗}(ρ) − ρ = dS. Réciproquement, pour chaque difféomorphisme canonique G admettant une fonction génératrice il existe un difféomorphisme de contact strict F tel que F̄ = G.

Démonstration: On définit un difféomorphisme F̄ : T^{∗}M ↦ T^{∗}M par F̄ = α ∘ F ∘ (α)^{−1}. C’est un difféomorphisme canonique avec une fonction génératrice, i.e. F̄^{∗}(dρ) = dρ et F̄^{∗}(ρ)−ρ = dS parce que nous pouvons représenter F comme F (x, t) = (F̄(x), t+α^{∗}(S)(x)) où x ∈ T^{∗}M, t ∈ ℝ, S ∈ C^{∞}(T ∗M). (C’est possible en vertu de F_{∗}(X_{1}) = X_{1}).

En suite, U_{1} = β^{∗}(du) − α^{∗}(ρ) = F^{∗}(U_{1}) = d(F^{∗}(u)) − α^{∗}(F̄)^{∗}(ρ) = α^{∗}(dS) + du − α^{∗}(F̄)^{∗}(ρ) ou α^{∗}((F̄)^{∗}(ρ) − ρ) = α^{∗}(dS).

Mais comme F̄^{∗}(ρ) − ρ ∈ Λ^{1}(T^{∗}M) et aussi dS ∈ Λ^{1}(T^{∗}M) et α : J^{1}(M) ↦ T^{∗}M est la projection alors F̄^{∗}(ρ) − ρ = dS.

Inversement, si G est un difféomorphisme canonique tel que S ∈ C^{∞}(T^{∗}M) soit sa fonction génératrice, on définit F (x, t) = (G(x), t + α^{∗}(S)(x)) et on obtient le difféomorphisme de contact strict recherché.

5. Champs de vecteurs de contact

5.1. La dérivation de Lie. Soit X champ de vecteurs sur une variété M, X ∈ D(M) et g_{t} son groupe uniparamétrique local de difféomorphismes le long de ses trajectoires.

Définition 5.1. La dérivation de Lie d’une k-forme différentielle ω ∈ Λ^{k}(M) le long de X est définie par

L_{X}(ω) = lim_{t→0} \frac{g_{t}^{∗}(ω) − ω)}{t}

Nous rappellons les propriétés basiques de la dérivation de Lie

Proposition 5.1. Soit f ∈ C^{∞}(M), ω ∈ Λ^{k}(M), ω_{1} ∈ Λ^{r}(M), X, Y ∈ D(M). Alors:

1)L_{X+Y} (ω) = L_{X}(ω) + L_{Y} (ω);
2)[L_{X}, L_{Y}](ω) = L_{[X,Y]}(ω);
3)L_{X}(dω) = d(L_{X}(ω));
4)L_{X}(ω) = i_{X}dω + d(i_{X}ω)(”LaformuledeCartan”);
5)L_{X}(ω ∧ ω_{1}) = L_{X}(ω) ∧ ω_{1} + ω ∧ L_{X}(ω_{1}).

Soit maintenant g_{t} : J^{1}(M) ↦ J^{1}(M) un groupe uniparamétrique local de difféomorphismes de contact, g_{t}^{∗}(U_{1}) = f_{t}U_{1}. Soit X le champ de vecteurs sur J^{1}(M) correspondant, alors par la définiton de la dérivation de Lie on obtient:

L_{X}(U_{1}) = fU_{1}, f = \frac{dg_{t}}{dt} |_{t=0}.

Nous appellons le champ X comme ci-dessous une transformation de contact infinitesimale oú le champ de vecteurs de contact.

Exemple 5.1. Le champ de vecteurs X_{1} := \frac{∂}{∂u} du théorème 3.1 est un champ de vecteurs de contact:

L_{X_{1}}U_{1} = i_{X_{1}}dU_{1} + d(i_{X_{1}}U_{1}) = 0,

puisque i_{X_{1}}dU_{1} = i_{X_{1}}U_{1} = 0.

Exemple 5.2. Soit ḡ_{t} un groupe uniparamétrique local de difféomorphismes le long des trajectoires d’un champ de vecteurs hamiltonien X̄ de T^{∗}M. Alors (par le theórème 4.1) le groupe g_{t} : J^{1}(M) ↦ J^{1}(M) est un groupe uniparamétrique local de difféomorphismes de contacte le long des trajectoires du champ X de J^{1}(M) et α_{∗}(X) = X̄.

Proposition 5.2. Un champ de vecteurs X de J^{1}(M) est de contact si et seulement si son groupe uniparamétrique local de difféomorphismes le long ses trajectoires est un groupe de difféomorphismes de contact.

Démonstration La condition L_{X}(U_{1}) = fU_{1} implique la condition L_{X}(U_{1})∧U_{1} = 0 alors avec la définition 5.1 on obtient

\frac{d}{dt}|_{t=0}(g_{t}^{∗}(U_{1})) ∧ U_{1} = 0.

D’autre côté, puisque g_{t+s} = g_{t} ∘ g_{s} nous avons

\frac{d}{dt}|_{t=s}(g_{t}^{∗}(U_{1})) ∧ U_{1} = 0

et g_{t}^{∗}(U_{1}))∧U_{1} = g_{0}^{∗}(U_{1}))∧U_{1} = 0, d’où g_{t} sont des difféomorphismes de contact. c q f d

Définition 5.2. Un champ de vecteurs de contact X est dit champ hamiltonien si L_{X}(U_{1}) = 0

Exemple 5.3. Le champ X_{1} = \frac{∂}{∂u} est un champ hamiltonien.

Théorème 5.1. Tout champ de vecteurs de contact sur J^{1}(M) est uniquement déterminé par la fonction f = i_{X_{1}}U_{1} = U_{1}(X). A chaque fonction f ∈ C^{∞}(J^{1}(M)) correspond un unique champ de vecteurs de contact X_{f} tel que

U_{1}(X_{f}) = f;
L_{X_{f}} (U_{1}) = X_{1}(f)U_{1};
X_{f+g} = X_{f} + X_{g}, g ∈ C^{∞}(J^{1}(M));
X_{fg} = fX_{g} + gX_{f} − fgX_{1};
X_{f}(f) = X_{1}(f)f.

Démonstration Soit X un champ de vecteurs de contact sur J^{1}(M), L_{X_{f}} (U_{1}) = hU_{1}, h ∈ C^{∞}(J^{1}(M)). On a X = fX_{1} + Y , où f ∈ C^{∞}(J^{1}(M)) et U_{1}(Y) = 0. En utilisant la formule de Cartan on trouve

i_{Y} dU_{1} = hU_{1} − df,

d’où

i_{X_{1}}(i_{Y} dU_{1}) = −i_{Y} (i_{X_{1}}dU_{1}) = h − X_{1}(f) = 0, h = X_{1}(f) = \frac{∂h}{∂u}.

Pour conclure il suffit de remarquer que la forme dU_{1} définit in isomorphisme entre les champs de vecteurs sur lesquels U_{1} s’annule (dit champs horizontaux) et les 1-formes qui s’annulent sur X_{1} (dit formes semi-basiques): Y ↦ i_{Y} dU_{1}.

Les autres relations se déduisent des propriétés de la dérivée de Lie. c q f d

Définition 5.3. La fonction f = U_{1}(X) est l’hamiltonienne du champ de vecteurs de contact X. Un tel champ sera noté X_{f}.

Exemple 5.4. Toute fonction H ∈ C^{∞}(T^{∗}M) est une fonction lisse sur J^{1}(M) en vertu de la projection α : J^{1}(M) ↦ T^{∗}(M), f = α^{∗}(H). La projection du champ de contact X_{f} est le champ hamiltonien X_{H} et i_{X_{H}}dρ = dH car dU_{1} = −α^{∗}(dρ).

On considère l’expression du champ X_{f} dans un système de coordonnées locales de J^{1}(M): Soit

X = Q\frac{∂}{∂q} + U \frac{∂}{∂u} + P \frac{∂}{∂p} =

∑_{i=1}^{n} (a_{i}(q, u, p)\frac{∂}{∂q_{i}} + b_{i}(q, u, p)\frac{∂}{∂p_{i}} ) + c(q, u, p)\frac{∂}{∂u}

un champ de vecteurs de contact X = X_{f}.

Lorsque dU_{1} = −dp ∧ dq et

i_{X}dU_{1} = Qdp − P dq = ∑_{i=1}^{n}(a_{i}dp − b_{i}dq),

X_{1}(f)U_{1} − df = − ∑_{i=1}^{n} [(\frac{∂f}{∂q_{i}} + p_{i} \frac{∂f}{∂u})dq_{i} + \frac{∂f}{∂p_{i}} dp_{i}] ,

on obtient

a_{i} = −\frac{∂f}{∂p_{i}} , b_{i} = \frac{∂f}{∂q_{i}} + p_{i} \frac{∂f}{∂u},

c = U_{1}(X) + ∑_{i=1}^{n} a_{i}p_{i} = f − ∑_{i=1}^{n} p_{i} \frac{∂f}{∂p_{i}} .

donc le champ X_{f} s’écrit:

X_{f} = −\frac{∂f}{∂p} \frac{∂}{∂q} + (\frac{∂f}{∂q} + p\frac{∂f}{∂u})\frac{∂}{∂p} + (f − p\frac{∂f}{∂p})\frac{∂}{∂u} =

− ∑_{i=1}^{n} \frac{∂f}{∂p_{i}} \frac{∂}{∂q_{i}} + ∑_{i=1}^{n}(\frac{∂f}{∂q_{i}} + p_{i} \frac{∂f}{∂u})\frac{∂}{∂p_{i}} + (f − ∑_{i=1}^{n} p_{i} \frac{∂f}{∂p_{i}})\frac{∂}{∂u}.

6. Crochets sur l’algébre C^{∞}(J^{1}(M)).

Nous utilisons l’isomorphisme f ↦ X_{f} entre des champs de vecteurs de contact sur J^{1}(M) et des fonctions lisses sur J^{1}(M) pour la déscription des couplages différents sur les fonctions.

6.1. Crochet de Lagrange. Soient f, g ∈ C^{∞}(J^{1}(M)) et soient X_{f}, X_{g} leurs champs de vecteurs de contact. Alors leur commutateur [X_{f}, X_{g}] est aussi un champ de vecteurs de contact X_{h} pour une fonction h, [X_{f}, X_{g}] = X_{h}.

Définition 6.1. On pose [f, g] = h = U_{1}([f, g]), on définit ainsi un crochet dit Lagrange sur J^{1}(M).

Les propriétées basiques du crochet de Lagrange:

(1)(ℝ-bi-linéairity)

[af_{1} + bf_{2}, g] = a[f_{1}, g] + b[f_{2}, g], [f, ag_{1} + bg_{2}] = a[f, g_{1}] + b[f, g_{2}], a, b ∈ ℝ;

(2)(antisymétrie)

[f, f] = 0;

(3)(identité de Jacobi)

[f, [g, h]] + [g, [h, f]] + [h, [f, g]] = 0;

(4)

[f, g] = X_{f}(g) − X_{1}(f)g.

14 VLADIMIR ROUBTSOV

Corollaire 6.1. L’algèbre C^{∞}(J^{1}(M)) est une algèbre de Lie avec le crochet de Lagrange.

L’expression du crochet de Lagrange en coordonnées locales est:

[f, g] = ∑_{i=1}^{n} (\frac{∂f}{∂q_{i}} \frac{∂g}{∂p_{i}} − \frac{∂f}{∂p_{i}} \frac{∂g}{∂q_{i}} ) + ∑_{i=1}^{n} p_{i} (\frac{∂f}{∂u} \frac{∂g}{∂p_{i}} − \frac{∂f}{∂p_{i}} \frac{∂g}{∂u}) +

f \frac{∂g}{∂u} − g \frac{∂f}{∂u}.

6.2. Crochet de Jacobi. Définition 6.2. On pose (f, g) = h = dU_{1}(X_{f}, X_{g}), on définit ainsi un crochet dit de Jacobi sur J^{1}(M).

Les propriétées basiques du crochet de Jacobi: (1)(ℝ-bi-linéairity) (af_{1} + bf_{2}, g) = a(f_{1}, g) + b(f_{2}, g), (f, ag_{1} + bg_{2}) = a(f, g_{1}) + b(f, g_{2}), a, b ∈ ℝ; (2)(antisymétrie)

(f, f) = 0;

(3)(”presque-identité de Jacobi ”) (f, (g, h)) + (g, (h, f)) + (h, (f, g)) = X_{1}(f)(g, h) + X_{1}(g)(h, f) + X_{1}(h)(f, g); (4)

(f, g) = X_{f}(g) − X_{1}(g)f.

L’expression du crochet de Jacobi en coordonnées locales est:

(f, g) = ∑_{i=1}^{n} (\frac{∂f}{∂q_{i}} \frac{∂g}{∂p_{i}} − \frac{∂f}{∂p_{i}} \frac{∂g}{∂q_{i}} ) + ∑_{i=1}^{n} p_{i} (\frac{∂f}{∂u} \frac{∂g}{∂p_{i}} − \frac{∂f}{∂p_{i}} \frac{∂g}{∂u}) .

6.3. Crochet de Poisson. Définition 6.3. On pose {f, g} = h = X_{f}(g), on définit ainsi un crochet dit de Poisson sur J^{1}(M).

Les propriétées basiques du crochet de Poisson: (1)(ℝ-bi-linéairity)

{af_{1} + bf_{2}, g} = a {f_{1}, g}+b {f_{2}, g} , {f, ag_{1} + bg_{2}} = a {f, g_{1}}+b {f, g_{2}} , a, b ∈ ℝ;

(2)

{f, g} + {g, f} = X_{1}(f)g + X_{1}(g)f;

(3)

{f, g} = [f, g] + X_{1}(f)g;

(4)

{f, g} = (f, g) + X_{1}(g)f.

L’expression du crochet de Poisson en coordonnées locales est:

\{f, g\} = ∑_{i=1}^{n} (\frac{∂f}{∂q_{i}} \frac{∂g}{∂p_{i}} − \frac{∂f}{∂p_{i}} \frac{∂g}{∂q_{i}} ) + ∑_{i=1}^{n} p_{i} (\frac{∂f}{∂u} \frac{∂g}{∂p_{i}} − \frac{∂f}{∂p_{i}} \frac{∂g}{∂u}) + f \frac{∂g}{∂u}.

Remark 2. On considérant les fonctions f ∈ C^{∞}(J^{1}(M)) lesquelles sont induites par des fonctions sur T^{∗}M par la projection α, f = α^{∗}(H), H ∈ C^{∞}(T^{∗}M), on remarque que tous les crochets ci-dessus coincident avec le crochet de Poisson dans C^{∞}(T^{∗}M) lorsque X_{1}(α^{∗}(H)) = 0.

Exemple 6.1. (Calcul de relations basiques dans l’algébre de Lie des fonctions sur J^{1}(M))

[1, f] = \frac{∂f}{∂u}, [p, f] = −(\frac{∂f}{∂q} + p\frac{∂f}{∂u});

[u, f] = p\frac{∂f}{∂p} + u\frac{∂f}{∂u};

[q, f] = \frac{∂f}{∂p} + q \frac{∂f}{∂u}.

7. Equations du 1^{er} ordre.

Définition 7.1. Un système de k équations aux dérivées partielles du 1^{er} ordre est défini par la donnée d’une sous-variété E_{k} de codimension k dans J^{1}(M).

Définition 7.2. Une solution réguliere de E_{k} ⊂ J^{1}(M) est une fonction lisse f ∈ C^{∞}(M) telle que l’image j_{1}(f)(M) ⊂ J^{1}(M) de M contenue dans E_{k}.

Si k > 1 on dit que le système est surdéterminé. Si k = 1 nous avons une équation différentielle E_{1} ⊂ J^{1}(M), E_{1} = F^{−1}(0), F ∈ C^{∞}(J^{1}(M)).

Par abus de langage on dit aussi que E_{k} est une équation différentielle du 1^{er} ordre.

Soient E_{k} un système de k équations aux dérivées partielles du 1^{er} ordre et (q) un systéme de coordonnées locales dans un voisinage U ⊂ M, alors (q, u, p) est un système de coordonnées induit dans Ū = π_{1}^{−1}(U), ou u = p_{σ}, si σ = (0, ..., 0), p_{i} = p_{σ}, si σ = (0, ..., 1, ..0).

Quelque soit x ∈ E_{k} il existe un voisinage O ⊂ Ū, x ∈ O tel que E_{k} ∩ O est donné par le système d’équations F_{s}(q, u, p) = 0, où 1 ≤ s ≤ k.

La section j_{1}(f) dans (q, u, p) s’écrit comme j_{1}(f)(q) = (q, f(q), \frac{∂f}{∂q}) alors l’image j_{1}(f)(M) dans le voisinage O appartient à E_{k} ∩ O si F_{s}(q, f(q), \frac{∂f}{∂q}) = 0, 1 ≤ s ≤ k.

Définition 7.3. Une sous-variété de Legendre L ⊂ J^{1}(M) s’appélle solution multivaluée de l’équation différentielle E_{k} si L ⊂ E_{k}.

Nous avons démontré dans Prop.2.1 qu’une solution multivaluée L est réguliere si L = s(M) pour une section s : M ↦ J^{1}(M). Autrement dit si la restriction π_{1}|_{L} : L ↦ M est un difféomorphisme.

7.1. Symétries des équations. Soit E_{1} une équation différentielle telle que E_{1} = F^{−1}(0), F ∈ C^{∞}(J^{1}(M)) et E_{1} est invariante par rapport au flot g_{t} : J^{1}(M) ↦ J^{1}(M) le long des trajectoires d’un champ de vecteurs de contact X_{f} : g_{t}(E_{1}) = E_{1}. Alors

Définition 7.4. Un champ de vecteurs de contact X_{f} est dit symétrie de E_{1} si X_{f} est un champ de vecteurs tangents à E_{1}.

La symétrie X_{f} de E_{1} est dite caractéristique si i_{X_{f}} U_{1} = 0, i.e. X_{f} appartient à la restriction de la distribution de contact sur E_{1}.

Proposition 7.1. Le champ de contact X_{F} est une symétrie caractéristique de l’équation différentielle E_{1} = F^{−1}(0).

Preuve: Si X_{F} ∈ T E_{1} nous pouvons calculer X_{F} (F) = [F, F] + X_{1}(F)F = X_{1}(F)F = 0 sur E_{1}. De même U_{1}(X_{F}) = F = 0 sur E_{1}.

En utilisant le crochet de Poisson on dit que X_{f} est une symétrie de E_{1} = F^{−1}(0) si {f, F } |_{E_{1}} = 0.

Théorème 7.1. Toute solution multivaluée L ⊂ E_{1} = F^{−1}(0) est invariante par rapport à X_{F}, i.e. X_{F} est le champ tangent à toute solution L ⊂ E_{1}.

Démonstration: Soit x ∈ L, il faut démontrer que X_{F} (x) ∈ T_{x}(L). Pour cela soit V ⊂ T_{x}(J^{1}(M)) le sous-espace vectoriel engendré par T_{x}(L) et X_{F} (x), V = T_{x}(L) + ℝX_{F} (x). Alors U_{1,x}|_{V} = 0 ce qui est évident avec la définition des sousvariétés legendriennes.

Ensuite, l’espace V est aussi dU_{1,x}-isotrope. En effet, si X, Y ∈ T_{x}(L), dU_{1,x}(X, Y) = 0 puisque U_{1}|_{L} = 0 implique dU_{1}|_{L} = 0.

Il suffit donc de considérer X = X_{F,x}, Y ∈ T_{x}(L):

dU_{1,x}(X_{F,x}, Y) = i_{Y} i_{X_{F,x}}dU_{1,x} = i_{Y} (X_{1}(F)(x)U_{1,x} − dF (x)) =
X_{1}(F)(x)U_{1,x}(Y) − dF (x)(Y) = −dF (x)(Y) = 0,

puisque Y ∈ Ker(U_{1,x}) et Y ∈ Ker(dF (x)).

Ainsi V est contenu dans Ker(U_{1,x}) et c’est un sous- espace lagrangien par rapport à dU_{1,x}, donc dimV ≤ n or dimT_{x}(L) = n donc X_{F,x} ∈ T_{x}(L).

c q f d

7.2. Problème de Cauchy.

Définition 7.5. Un problème de Cauchy est défini par le donnée d’une sousvariété L_{0} ⊂ E_{1} = F^{−1}(0) telle que:

a)U_{1}|_{L_{0}} = 0;

b)dimL_{0} = n − 1;

c)X_{F,x} ∉ T_{x}(L_{0}), quelque soit x ∈ L_{0}.

Théorème 7.2. Un problème de Cauchy a une unique solution. C’est-à-dire qu’il existe une sous-variété legendrienne L ⊂ E_{1} = F^{−1}(0) telle que L_{0} ⊂ L.

Démonstration: Soit g_{t} : J^{1}(M) ↦ J^{1}(M) un flot correspodant à un champ de vecteurs de contact X_{F} avec t suffisement petit. Alors la variété L = ⋃_{t} g_{t}(L_{0}) est une variété lisse et c’est une solution de E_{1} multivaluée. En effet, quelque soit t

U_{1}|_{g_{t}(L_{0})} = g_{t}^{∗}(U_{1})|_{L_{0}} = hU_{1}|_{L_{0}} = 0,

et i_{X_{F}} U_{1} = F = 0 sur g_{t}(L_{0}). D’un autre coté

T_{x}(L) = T_{x}(g_{t}(L_{0})) ⊕ ℝX_{F,x}

quelque soit x ∈ g_{t}(L_{0}). Ainsi nous obtenons U_{1}|_{T_{x}(L)} = 0.

c q f d

7.3. Calcul en coordonnées locales. Soit

F (q, S(q), \frac{∂S}{∂q}) = 0,

une équation du 1^{re} ordre et (q_{0}, q_{1}, ..., q_{n−1}) = (q_{0}, q′).

Alors on peut définir L_{0} comme

L_{0} = \{q_{0} = 0, u = S_{0}(q′), p_{0} = G(0, q′, \frac{∂S_{0}}{∂q′}), p′ = \frac{∂S_{0}}{∂q′} \} ,

où la fonction G(q_{0}, q′, p′ donnée une équation similaire:

p_{0} = G(q_{0}, q′, u, p′),

ou

\frac{∂S}{∂q_{0}} = G(q_{0}, q′, S, \frac{∂S}{∂q′}).

Les trajectoires du champ de vecteurs X_{F} sont déterminée par le système des équations différentielles ordinaires:

\{ \begin{matrix}q̇_{0} = −\frac{∂F}{∂p_{0}} , \\ q̇′ = −\frac{∂F}{∂p′} = \frac{∂G}{∂p′}, \\ u̇ = F − ∑_{i} p_{i} \frac{∂F}{∂p_{i}} = p′ \frac{∂G}{∂p′} − G, \\ ṗ_{0} = \frac{∂F}{∂q_{0}} + p_{0} \frac{∂F}{∂u} = −\frac{∂G}{∂q_{0}} − G\frac{∂G}{∂u}, \\ ṗ′ = \frac{∂F}{∂q′} + p′ \frac{∂F}{∂u} = −\frac{∂G}{∂q′} − p′ \frac{∂G}{∂u}. \end{matrix}

Notons par γ(t) la courbe de la solution

γ(t) = (q′(a, b, c, t), u(a, b, c, t), p′(a, b, c, t))

passant par le point

\{ \begin{matrix}q′(a, b, c, 0) = a, \\ u(a, b, c, 0) = b, \\ p′(a, b, c, 0) = c. \end{matrix}

Alors la solution L du problème de Cauchy est la solution suivante: Puisque U_{1}(X_{F}) = 0 sur E_{1} on a (u̇ − p_{0}q̇_{0} − p′q̇′)dt = 0 sur γ(t), i.e. u̇ = p′q̇′ − G sur γ(t) et alors

S(q_{0}, q′) = S_{0}(a) + ∫_{γ}(p′ \frac{∂G}{∂p′} − G)dt,

où a est déterminé par l’équation

q′(a, S_{0}(a), \frac{∂S_{0}}{∂q′} (a), −q_{0}) = q′.

Exemple 7.1. Equation d’Hamilton - Jacobi Soit H(t, q, p) une fonction d’Hamilton pour un système mécanique et l’équation

\frac{∂S}{∂t} + H(t, q, \frac{∂S}{∂t}) = 0

est l’équation d’Hamilton - Jacobi pour l’action S(q, t).

Soit S_{0} = S(q, 0) une fonction donnée. Alors on peut re-écrire la procedure ci-dessus. Soit γ(τ) = (q(τ), p(τ)) une trajectoire du systéme d’Hamilton

q̇ = \frac{∂H}{∂p} , ṗ = −\frac{∂H}{∂q} ,

passant au moment τ = 0 par le point (a, \frac{∂S_{0}}{∂q} (a) et se projettant sur q au moment τ = t. Alors

S(q, t) = S_{0}(a) + ∫_{γ} Ldτ,

où L = pq̇ − H est le Lagrangien du système. Si nous considérons le cas d’une particule libre, alors H = \frac{p^{2}}{2m} et a est une solution du systéme

p = \frac{∂S_{0}}{∂q} (a), q = a + pt.

En résolvant l’équation pour a nous obtenons pour chaque moment t la courbe sur le plan des phases

p = \frac{∂S_{0}}{∂q} (q − pt).

Mê me si l’hamiltonien H ne dépend que de q, p (”cas stationnaire”) l’équation d’Hamilton - Jacobi peut ne pas avoir de solutions régulieres comme dans le cas d’oscillateur harmonique:

H(q, p) = \frac{p^{2}}{2m} + \frac{kq^{2}}{2} .

La sous - variété E = {H = C} ∈ J^{1}(ℝ^{1}) est un cylindre et la courbe j_{1}(f), f ∈ C^{∞}ℝ^{1}) ⊂ ℝ^{3} n’appartient pas au cylindre.

STRUCTURE DE CONTACT ET ÉQUATIONS DE MONGE-AMPÈRE. 19

Mais il y a des solutions multivaluées 8. Operateurs non lineares du second ordre de Monge - Ampere.

Définition 8.1. A tout n-forme différentielle ω ∈ Λ^{n}J^{1}(M) on associe un opérateur différentiel non-linéaire Δ_{ω}

Δ_{ω} : C^{∞}(M) ↦ Λ^{n}(M)

suivant la regle Δ_{ω}(f) = j_{1}(f)^{∗}(ω). L’opérateur Δ_{ω} est dit opérateur de Monge - Ampère.

Exemple 8.1. 1) Soit (q, u, p) des coordonnées locales sur J^{1}(M).On a

j_{1}(h)^{∗}[dp_{j} ∧ dq_{i+1} ∧ ... ∧ d̂q_{j} ∧ dq_{n}] = \frac{∂^{2}h}{∂q_{i}∂q_{j}} dq_{1} ∧ ... ∧ dq_{n};

j_{1}(h)^{∗}[p_{i}dq_{1} ∧ ... ∧ dq_{n}] = \frac{∂h}{∂q_{i}} dq_{1} ∧ ... ∧ dq_{n};

2) Soit P : C^{∞}(M) ↦ C^{∞}(M) un opérateur différentiel linéaire d’ordre ≤ 2 et soit Ω_{0} ∈ Λ^{n}(M), on définit l’opérateur Δ̄ : C^{∞}(M) ↦ Λ^{n}(M) par Δ̄(h) = P (h)Ω_{0}. Alors il existe une forme différentielle ω ∈ Λ^{n}J^{1}(M) telle que Δ̄ = Δ_{ω};

3) Soit (M, g) une variéte riemanienne orientable, Ω_{g} -l’orientation définie par g et H ∈ C^{∞}(T^{∗}M) l’hamiltonien de la metrique. La forme ω = di_{H}(α^{∗}Ω_{g}) où α est la projection canonique, détermine le Laplacien Δ car

Δ_{ω}(h) = Δ(h)Ω_{g}.

8.1. Solutions generalisees d’une equation de Monge - Ampere. f est une solution de l’équation Δ_{ω} = 0 équivaut à ω|_{L} = 0 où L = j_{1}(f)(M), d’où une généralisation de la notion de solution pour les opérateurs de Monge - Ampère.

Définition 8.2. Une sous-variété de Legendre i : L ↦ J^{1}(M) est une solution de Δ_{ω} = 0 si i^{∗}(ω) = 0.

Soit L une solution généralisée de Δ_{ω} = 0, notons Σ(L) l’ensemble de points de L qui sont singuliers pour la projection canonique π_{1}|_{L} : L ↦ M. Σ(L) est dit le ”front d’onde” de L.

Exemple 8.2. 1) Soit M = ℝ, J^{1}(M) = ℝ^{3}, on pose ω = 3p^{2}dp − dq, alors si h ∈ C^{∞}(M), j_{1}(f)^{∗}(ω) = [3\frac{df}{dq}^{2} \frac{d^{2}f}{dq^{2}} − 1] et l’équation Δ_{ω} = 0 est équivalente à l’équation différentielle ordinaire 3(f′)^{2}f” − 1 = 0.

On pose L = {(t^{3}, 3/4t^{4}, t)|t ∈ ℝ}. C’est une sous-variété de Legendre de J^{1}(M) telle que Δ_{ω} = 0 et Σ(L) = {0, 0, 0}.

2) Soit U un ouvert de ℝ^{n}, alors J^{1}(U) = U ×ℝ×ℝ^{n}. On pose ω = ∑_{i=1}^{n} dq_{1} ∧ ...dq_{i−1} ∧dp_{i} ∧...∧dq_{n} alors Δ_{ω}(h) = ∑_{i=1}^{n} \frac{∂^{2}f}{∂q_{i}} dq_{1} ∧...∧dq_{n} représente l’opérateur de Laplace habituel pour f ∈ C^{∞}(M).

Posons L = x_{0} × 0 × ℝ^{n} ⊂ J^{1}(M), x_{0} ∈ M. L est une sous-variété de Legendre de J^{1}(M) telle que Σ(L) = L et Δ_{ω}|_{L} = 0.

8.2. Transformation des équations par difféomorphismes de contact. Soit ω ∈ Λ^{n}(J^{1}(M)) et α : J^{1}(M) ↦ J^{1}(M) une transformation de contact, on définit l’action α(Δ_{ω}) = Δ_{α^{∗}(ω)} sur les équations et les opérateurs de Monge - Ampère.

Une action infinitesimale d’un champ de vecteurs de contact X_{f} est définie comme

X_{f}(Δ_{ω}) = Δ_{L_{f} (ω)}, f ∈ C^{∞}(J^{1}(M)).

Définition 8.3. 1) Une transformation de contact α est dite symétrie de l’opérateur Δ_{ω} (resp. de l’équation Δ_{ω} = 0) si

α(Δ_{ω}) = Δ_{ω},

resp. si

α(Δ_{ω}) = h_{α}Δ_{ω}, h_{α} ∈ C^{∞}(J^{1}(M)).

2)Un champ de vecteurs de contact X_{f} est dit symétrie infinitesimale de contact de l’opérateur Δ_{ω} (resp. de l’équation Δ_{ω} = 0) si

X_{f}(Δ_{ω}) = 0,

resp. si

X_{f}(Δ_{ω}) = h_{f}Δ_{ω}, h_{f} ∈ C^{∞}(J^{1}(M)).

Bien remarquer que les symétries de l’opérateur et de l’équation engendrent des groupes car leurs analogues infinitesimaux constituent des algèbres de Lie.

L’importance des notions ci-dessus est garantie par une proposition bien evidente

Proposition 8.1. L est une solution généralisée de l’équation Δ_{α^{∗}(ω)} = 0 si et seulement si α(L) est une solution généralisée de Δ_{ω} = 0.

Mais il faudrait remarquer que le front d’onde Σ(L) d’une variété de Legendre L n’est pas (en général) conservé par les transformations de contact et donc pour une solution régulière L de Δ_{α^{∗}(ω)} = 0, Σ(L) = ⊘ on peut obtenir une solution α(L) de Δ_{ω} = 0 avec Σ(L) ≠ ⊘ et réciproquement.

Il faudrait aussi remarquer que parfois on peut transformer un opérateur nonlinéaire en un opérateur linéaire et réciproquement.

Exemple 8.3. On prend M = ℝ^{2} donc J^{1}(M) = ℝ^{5}, les équations de Monge - Ampère classique sont de la forme

A\frac{∂^{2}F}{∂q_{1}^{2}} + 2B \frac{∂^{2}F}{∂q_{1}∂q_{2}} + C \frac{∂^{2}F}{∂q_{2}^{2}} + G(\frac{∂^{2}F}{∂q_{1}^{2}} \frac{∂^{2}F}{∂q_{2}^{2}} − (\frac{∂^{2}F}{∂q_{1}∂q_{2}} )^{2}) + H = 0,

où A, B, C, G, H ∈ C^{∞}(J^{1}(M)). Ces fonctions contiennent F et les dérivées partielles premières de F. Nous nous interessons au cas A = B = C = 0, G = 1, H = −1, on obtient l’équation

\frac{∂^{2}F}{∂q_{1}^{2}} \frac{∂^{2}F}{∂q_{2}^{2}} − (\frac{∂^{2}F}{∂q_{1}∂q_{2}} )^{2} − 1 = 0.

Elle est associée à la 2-forme différentielle ω = dp_{1} ∧dp_{2} −dq_{1} ∧dq_{2} ∈ Λ^{2}(J^{1}(M)) On considère la transformation de Legendre partielle (voir Exemple 4.1(3)):

α(q_{1}, q_{2}, u, p_{1}, p_{2}) = (p_{1}, q_{2}, u − p_{1}q_{1}, −q_{1}, p_{2}), α^{∗}(U_{1}) = U_{1}.

D’un autre côté α^{∗}(ω) = dp_{2} ∧ dq_{1} − dp_{1} ∧ dq_{2}, alors

j_{1}(F)^{∗}(α^{∗}(ω)) = −(\frac{∂^{2}F}{∂q_{1}^{2}} + \frac{∂^{2}F}{∂q_{2}^{2}} )dq_{1} ∧ dq_{2}

est l’équation de Laplace. Maintenant, si F ∈ C^{∞}(ℝ^{2}) est une solution régulière de l’équation de Monge - Ampère et L = j_{1}(F)(ℝ^{2}) on a Σ(L) = ⊘. Alors α^{−1}(L) est une solution de l’équation de Laplace singulière, i.e. telle que Σ(α^{−1}(L)) ≠ ⊘.

9. Formes différentielles sur J^{1}(M)

Rappellons que sur J^{1}(M) on a une 1-forme universelle U_{1} et que l’espace vectoriel C(x) = KerU_{1,x} est un espace symplectique quelque soit x ∈ J^{1}(M) avec la forme symplectique dU_{1,x}. Soit X_{1} le champ de Reeb de la structure de contact, alors

Définition 9.1. 1) Une forme différentielle ω ∈ Λ^{k}(J^{1}(M)) est dite semi-basique si i_{X_{1}}ω = 0;

2) Un champ de vecteurs X sur J^{1}(M) est horizontal si la composante de X suivant X_{1} est nulle.

Proposition 9.1. Une forme différentielle ω ∈ Λ^{k}(J^{1}(M)) s’écrit de manière unique

ω = ω_{0} + U_{1} ∧ ω_{1},

où ω_{0} et ω_{1} sont semi-basiques.

Preuve: On pose ω_{1} = i_{X_{1}}ω et ω_{0} = ω − U_{1} ∧ ω_{1}.

On note Λ^{k}(C^{∗}) l’espace des k-formes semi-basiques, Λ_{x}^{k}(C^{∗}) s’identifie naturellement à Λ^{k}(C(x)^{∗}).

9.1. Algèbre extérieure sur un espace symplectique vectoriel. Soit C un espace vectoriel, dimC = 2n et Ω ∈ Λ^{2}(C^{∗}) une 2-forme anti-symétrique donnant une structure symplectique sur C, alors l’application V : C ↦ C^{∗}, V (v) = i_{v}(Ω) est un isomorphisme et sa puissance extérieure V_{k} = Λ^{k}(V) : Λ^{k}(C) ↦ Λ^{k}(C^{∗}) est aussi un isomorphisme quelque soit k

Notons par X_{Ω} bi-vecteur canonique dual à Ω par l’isomorphisme V_{2} : X_{Ω} = (V_{2})^{−1}(Ω).

Dans l’algèbre extérieure Λ^{∗}(C^{∗}) = ⊕_{k≥0}Λ^{k}(C^{∗}) introduisons un triple d’opèrateurs linéaires:

⊤ : Λ^{k}(C^{∗}) ↦ Λ^{k+2}(C^{∗}), ⊤(ω) = Ω ∧ ω,
⊥ : Λ^{k}(C^{∗}) ↦ Λ^{k−2}(C^{∗}), ⊥(ω) = i_{X_{Ω}}ω,
[⊥, ⊤] : Λ^{k}(C^{∗}) ↦ Λ^{k}(C^{∗}), [⊥, ⊤] = ⊥ ∘ ⊤ − ⊤ ∘ ⊥.

Posons ensuite

⊤_{k} = \frac{1}{k!}⊤^{k}, ⊥_{k} = \frac{1}{k!}⊥^{k}, Ω_{k} = \frac{1}{k!}Ω^{k}, ⊤_{0} = ⊥^{0} = 1.

Lemme 9.1. 1). ⊥Ω_{k} = (n − k + 1)Ω_{k_{1}} 2). Si θ ∈ Λ^{1}(C^{∗}), ω ∈ Λ^{k}(C^{∗})

⊥(θ ∧ ω) = θ ∧ ⊥ω − i_{X_{θ}}ω.

Pour démontrer 1) il suffit en choisissant une base canonique {v_{1}, ..., v_{n}, w_{1}, ..., w_{n}} de C^{∗} telle que

Ω = ∑_{i=1}^{n} v_{i} ∧ w_{i}

et {v^{1}, ..., v^{n}, w^{1}, ..., w^{n}} une base canonique duale de C, de calculer:

i_{v^{j}}Ω_{k} = i_{v^{j}}Ω ∧ Ω_{k−1} = w_{j} ∧ Ω_{k−1},
i_{w^{j}}Ω_{k} = i_{w^{j}}Ω ∧ Ω_{k−1} = −v_{j} ∧ Ω_{k−1},

alors

i_{X_{Ω}}Ω_{k} = ∑_{j=1}^{n} i_{v^{j}∧w^{j}}Ω_{k} = ∑_{j=1}^{n} i_{w^{j}}(w_{j} ∧ Ω_{k−1} =

∑_{j=1}^{n}(Ω_{k−1} + w_{j} ∧ v_{j} ∧ Ω_{k−2}) = (n − k + 1)Ω_{k−1}.

De façon similaire,

⊥(θ ∧ ω) = ∑_{j=1}^{n} i_{v^{j}∧w^{j}}(θ ∧ ω) = ∑_{j=1}^{n} i_{w^{j}}(i_{v^{j}}(θ)ω − θ ∧ i_{v^{j}}ω) =

∑_{j=1}^{n} i_{v^{j}}(θ)i_{w^{j}}(ω) − i_{w^{j}}(θ)i_{v^{j}}(ω) + ∑_{j=1}^{n} θ ∧ i_{w^{j}}(i_{v^{j}}ω) = −i_{X_{θ}}(ω) + θ ∧ ⊥ω.

Théorème 9.1. Soit ω ∈ Λ^{k}(C^{∗}), alors [⊥, ⊤](ω) = (n − k)ω.

Démonstration Par reccurrence: Si k = 1 [⊥, ⊤](ω) = ⊥ ∘ ⊤(ω), en suite ⊤(ω) = 1/2i_{X_{ω}}(Ω ∧ Ω) et ⊥ ∘ i_{X} = i_{X} ∘ ⊥, lorsque [⊥, ⊤](ω) = 1/2i_{X_{ω}}(⊥Ω ∧ Ω) = (n − 1)i_{X_{ω}}(Ω) = (n − 1)ω. Nous montrons le théorème pour les k + 1-formes decomposables: θ ∧ ω, où θ ∈ C^{∗}, ω ∈ Λ^{k}(C^{∗}).

[⊥, ⊤](θ ∧ ω) = ⊥(θ ∧ ⊤(ω) − ⊤(θ ∧ ⊥ω − i_{X_{θ}}ω) = θ ∧ ⊥⊤ω − i_{X_{θ}}(⊤ω)−

−θ⊤⊥(ω) + ⊤i_{X_{θ}}(ω) = θ ∧ [⊥, ⊤]ω − θ ∧ ω = (n − k − 1)θ ∧ ω.

Corollaire 9.1. Pour une k-forme ω

[⊥, ⊤_{s}](ω) = (n − k − s + 1)⊤_{s−1}ω, [⊥_{s}, ⊤](ω) = (n − k + s − 1)⊥_{s−1}ω.

Proposition 9.2. 1).L’applications ⊤ est injective si k ≤ n − 1; 2).L’applications ⊥ est injective si k ≥ n + 1 Soit ω ∈ Λ^{k}(C^{∗}), k ≤ n − 1 et ⊤ω = 0. Alors grace au corollaire

0 = ⊤^{n+1}⊥_{n+1}ω = ⊤^{n}[⊤, ⊥_{n+1}]ω = (2n − k)...(n − k)ω,

d’où ω = 0. La deuxième assertion se démontre de manière similaire.

9.2. L’algèbre de Lie sl(2) et ses reprèsentations. Rapellons qu’on note sl(2) l’algèbre de Lie constituée par les matrices carrées d’ordre 2 et de trace nulle. C’est une algebre de Lie simple de dimension 3 et de rank 1. On appelle base de Chevalley - Cartan de sl(2) la base E, F, H où

E = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) , F = ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) , H = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) .

On a

[E, F] = H, [H, E] = 2E, [H, F] = −2F.

La droite 𝔥 = ℂH est dite sous-algèbre de Cartan dans sl(2). La sous -algèbre 𝔟 dans sl(2) engendré par E et par H est dite de Borel. Soit V un espace vectoriel, ρ : sl(2) ↦ End(V) est une représentation de l’algèbre sl(2) dans V ou V est un sl(2)-module si

ρ([X, Y] = ρ(X)ρ(Y) − ρ(Y)ρ(X), X, Y ∈ sl(2).

Soit V un sl(2)-module de dimension fini, v ∈ V est un vecteur propre de H : H(v) = λv, λ ∈ ℂ.

Si V_{λ} est un sous-espace de V tel que V_{λ} = {v ∈ V |H(v) = λv} on dit que λ est le poids de v.

Lemme 9.2. 1.V = ⊕_{λ∈ℂ}V_{λ}; 2. Si v est de poids λ alors Ev est de poids λ + 2 et F v est de poids λ − 2.

L’assertion 1. est standard et pour 2. on observe que

HEv = [H, E] v + EHv = 2Ev + λEv = (λ + 2)Ev.

Pour le vecteur F v les arguments sont similaires.

Définition 9.2. Un vecteur v est dit primitif s’il est vecteur propre non nul pour H et s’il appartient au noyau de E

Proposition 9.3. Un vecteur non nulle v est primitif si et seulement si la droite qu’il engendre est invariante par rapport à 𝔟

La nécessité est evidente. Si ℂv est 𝔟-invariante alors Ev = μv, Hv = λv, λ, μ ∈ ℂ. En utilisant [H, E] = 2E nous obtenons μ = 0 est donc v est un vecteur primitif.

Remarquons qu’il existe toujours un vecteur primitif pour tout sl(2)-module de dimension fini non nulle: pour un vecteur propre v de H on va prendre le dernier terme non nul de la serie v, Ev, E^{2}v, ...

Théorème 9.2. Soit V un sl(2)-module et v ∈ V un primitif de poids λ. Soient v_{n} = \frac{1}{n!}F^{n}v, n ≥ 0, v_{−1} = 0. Alors,

(i)Hv_{n} = (λ − 2)v_{n}, (ii)F v_{n} = (n + 1)v_{n+1}, (iii)Ev_{n} = (λ − n + 1)v_{n−1}

Démonstration

La formule (i) provient du lemme au dessus et dit que v_{n} a comme poids λ−2n. La formule (ii) est evidente. Démontrons (iii) par reccurence: Pour n = 0 (iii) est vrai car v_{−1} = 0. En suite,

nEv_{n} = EF v_{n−1} = [E, F] v_{n−1} + F Ev_{n−1} + (λ − n + 2)F v_{n−2} =
(λ − 2n + 2 + (λ − n + 2)(n − 1))v_{n−1} = n(λ − n + 1)v_{n−1}

d’où le résultat;

Il y a deux cas possibles: tous les vecteurs v_{n}, n ≥ 0 sont linéarement indépendants ou le poids du primitif v est un nombre entier m ≥ 0, les vecteurs v_{i}, i = 0, 1, ..., m sont linéarement indépendants, et v_{i} = 0, i > m.

Evidemment que pour un sl(2)-module de dimension fini le deuxième cas seulement est réalisé et le sous-espace vectoriel W avec la base v_{i}, i = 0, 1, ..., m est sl(2)-invariant (voir le théorème).

Proposition 9.4. W est un sl(2) - module irreductible.

Démonstration En effet, soit W′ ⊂ W. Les valeurs propres de H sur W sont égales à m, m−2, m−4, ..., −m de multiplicite 1. Si W′ est H-invariant et non nul il y a (au moins) un vecteur d’ensemble v_{i}, 0 ≤ i ≤ m appartennant à W′. Alors grace à la formule (iii) et comme W′ est sl_{2}-invariant les vecteurs v_{i−1}, ..., v_{0} = v appartiennent à W′. Mais en vertu (ii) v_{i}, v_{i+1}... aussi appartiennent à W′ d’où W′ = W.

Introduisons un sl(2)-module W_{m} de dimension m + 1 avec la base v_{0}, ..., v_{m} par les formules (i)-(iii):

(i)Hv_{n} = (m − 2)v_{n}, (ii)F v_{n} = (n + 1)v_{n+1}, (iii)Ev_{n} = (m − n + 1)v_{n−1},

en utilisant la convention v_{−1} = v_{m+1} = 0. Alors nous obtenons

HEv_{m} − EHv_{m} = 2Ev_{m}, HF v_{m} − F Hv_{m} = −2F v_{m}, EF v_{m} − F Ev_{m} = Hv_{m},

autrement dit W_{m} est un vrai sl(2)-module.

Théorème 9.3. 1). W_{m} est irreductible; 2).Tout irreductible sl(2)-module de dimension m + 1 est isomorphe à W_{m}; 3).Tout sl(2)-module de dimension fini est isomorphe à une somme directe de

modules W_{m}

Démonstration 1). est une conséquence du théorème 2.2 et de la discussion suivante. Pour 2). on remarque qu’il existe toujours un vecteur primitf v ∈ V pour tout sl(2)-module irréductible V de dimension fini. Soit k son poids et W′_{k} ⊂ V le sous-module de dimension k+1 engendré par v. Mais V est irreductible alors V = W′_{k}, k = m.

3). Est une consequence de 2) et du théorème générale (dit de Weyl): tout module de dimension fini est une somme directe de modules irreductibles.

Corollaire 9.2. Soit V un sl(2)-module de dimension fini alors le morphism H|_{V} est scalair (diagonalisable) avec des valeurs propres entieres. Si n, n ≥ 0 est une valeur propre alors n − 2, n − 4, ..., −n sont également des valeurs propres.

9.3. Théorème de Hodge - Lepage - Lychagin.

Exemple 9.1. Le triple ⊥, ⊤, [⊥, ⊤] donne une représentation d’algèbre de Lie sl_{2} dans l’espace Λ^{∗}(C^{∗}) autrement dit Λ^{∗}(C^{∗}) est un sl(2)-module de dimension fini.

Chaque Λ^{k}(C^{∗}) est un sous-module de poids n − k. Notons alors Λ_{ϵ}^{k}(C^{∗}) le sous-espace de Λ^{k}(C^{∗}) formé des éléments primitifs, c’est-à-dire

Λ_{ϵ}^{k}(C^{∗}) = Λ^{k}(C^{∗}) ∩ Ker⊥.

Λ_{ϵ}^{k}(C^{∗}) est un sl(2)-module irreductible et grace au théorème 2.3 le module Λ^{k}(C^{∗}) se décompose en somme directe pour k ≤ n

Λ^{k}(C^{∗}) = Λ_{ϵ}^{k}(C^{∗}) ⊕ ⊤ (Λ_{ϵ}^{k−2}(C^{∗})) ⊕ ⊤^{2} (Λ_{ϵ}^{k−4}(C^{∗})) ⊕ ... =
= Λ_{ϵ}^{k}(C^{∗}) ⊕ ⊤ (Λ^{k−2}(C^{∗})) .

Nous obtenons immediatement, que dimΛ_{ϵ}^{k}(C^{∗}) = C_{2n}^{k} − C_{2n}^{k−2} pour 0 ≤ k ≤ n.

Définition 9.3. Une k -forme diffŕentielle semi-basique ω, k ≤ n est dite effective si ⊥ω = 0

Nous voyons bien que l’espace des k-formes effectives est l’espace Λ_{ϵ}^{k}(C^{∗}) des vecteurs primitifs du poids n − k.

Théorème 9.4. (Hodge - Lepage - Lychagin) Toute k-forme ω se décompose en une somme finie

ω = ω_{0} + ⊤ω_{1} + ⊤_{2}ω_{2} + ...,

où ω_{i} ∈ Λ_{ϵ}^{k−2i}(C^{∗}) sont effectives et uniquement déterminées.

Pour la démonstration il suffit de faire un reference à la théorie de représentation d’algèbre de Lie sl(2).

Corollaire 9.3. 1). La “partie effective” ω_{0} d’une k-forme ω est égale à

[∑_{s≥0}(−1)^{s} \frac{1}{s + 1}⊤_{s}⊥_{s}] ω;

2).L’application ⊤_{k} : Λ^{n−k}(C^{∗}) ↦ Λ^{n+k}(C^{∗}) est un isomorphisme; 3).L’application ⊥_{k} : Λ^{n+k}(C^{∗}) ↦ Λ_{(}^{n−k}C^{∗}) est un isomorphisme; 4).Pour k = n Λ_{ϵ}^{n}(C^{∗}) = {ω|⊤ω = 0}

Nous laissons la démonstration du corollaire comme un devoir en calcul extérieur.

9.4. Applications aux formes différentielles sur J^{1}(M).

Théorème 9.5. Soient ω_{i} ∈ Λ_{ϵ}^{n−k}(C^{∗}), i = 1, 20 ≤ k ≤ n deux formes effectives telles que pour tout sous-espace isotrope L ⊂ C de dimension dimL = n − k où ω_{1}|_{L} = 0, la forme ω_{2} s’annule aussi. Alors ω_{2} = λω_{1} pour λ ∈ ℝ.

Démonstration Par reccurence sur n: Le cas n = 1 est trivial.

On choisit un couple de 1-formes α, α^{+} ∈ C^{∗} tel que i_{X_{α}}(α^{+}) = 1. Alors l’espace C′ = kerα ∩ ker α^{+} est un espace symplectique de dimension n − 2 avec une forme symplectique Ω′ = Ω|_{C′} et le couple ⊥′, ⊤′ d’opérateurs correspondants

Grace à la décomposition

C = C′ ⊕ ℝX_{α} ⊕ ℝX_{α^{+}}

on identifie des formes sur C′ et les formes sur C dégénérées le long de ℝX_{α} ⊕ ℝX_{α^{+}}.

On obtient la decomposition suivante d’une forme arbitraire ω ∈ Λ^{s}(C^{∗}):

ω = ω̄_{0} + α ∧ ω_{1} + α^{+} ∧ ω_{2} + α ∧ α^{+}ω_{3},

où ω_{i}, ω̄_{0}, i = 1, 2, 3 sont des formes univoquement définie sur C′ telles que

ı_{X_{α}}(ω_{i}) = ı_{X_{α^{+}}}(ω_{i}) = 0.

Soit ω effective alors grace à décomposition

X_{Ω} = X_{α} ∧ X_{α^{+}} + X_{Ω′},

on obtient

⊥(ω) = 0 = ⊥′(ω̄_{0} + α ∧ ⊥′(ω_{1}) + α^{+} ∧ ⊥′(ω_{2}) + α ∧ α^{+}⊥′(ω_{3}) + ω_{3},

d’où les formes ω_{i}, i = 1, 2, 3 sont effectives et ⊥′(ω̄_{0}) + ω_{3} = 0.

Soit

ω̄_{0} = ω_{0} + ⊤′(x_{1}) + ⊤′_{2}(x_{2}) + ...

la décomposition de Hodge-Lepage-Lychagine de la forme ω̄_{0}, alors

⊥′(ω̄_{0}) = (n − s + 1)x_{1} + (n − s + 2)⊤′(x_{2}) + ...

et par conséquent

x_{1} = \frac{−1}{n − s + 1}ω_{3}, x_{2} = 0, ...

Nous arrivons finalement à la décomposition d’une forme effective ω:

ω = ω_{0} + α ∧ ω_{1} + α^{+} ∧ ω_{2} + α ∧ α^{+} ∧ ω_{3} − \frac{1}{n − s + 1}⊥′(ω_{3}),

où toutes les formes ω_{i} sont effectives.

Donc si ω_{i} ∈ Λ_{ϵ}^{n−k}(C^{∗}), i = 1, 2 nous avons la décomposition

ω_{i} = ω_{0i} + α ∧ ω_{1i} + α^{+} ∧ ω_{2i} + α ∧ α^{+} ∧ ω_{3i} − \frac{1}{k + 1}⊥′(ω_{3i})

Ensuite, on choisit des espace isotropes annihilants pour ω_{i}. Pour cela on considére l’ensemble des vecteures de l’epace C′ qui sont linéarement indépendant et en involution par rapport à Ω′:

Ω(Y_{i}, Y_{j}) = 0, Y_{i} ∈ C′, 1 ≤ i ≤ n − k − 2.

Soit U, V ∈ C′ tels que

Ω′(Y_{i}, U) = Ω′(Y_{i}, V) = 0, Ω′(U, V) = 1,

alors l’ensemble de vecteurs (U + X_{α}, V + X_{α^{+}}, Y_{i}), 1 ≤ i ≤ n − k − 2 est en involution par rapport à Ω′.

Calculons le produit intérieur de n − k-vecteur Z = (U + X_{α}) ∧ (V + X_{α^{+}}) ∧ Y où Y = Y_{1} ∧ ... ∧ Y_{n−k−2} et de n − k-forme ω_{i}, i = 1, 2:

ı_{Z}(ω_{i}) = ı_{U∧V ∧Y} (ω_{0i}) + ı_{V ∧Y} (ω_{2i})+

ı_{U∧Y} (ω_{1i}) − \frac{k + 2}{k + 1}ı_{Y} (ω_{3i}).

Alors léquation linéaire (par rapport au vecteur U et pour V est fixé)

ı_{U}(ı_{V ∧Y} (ω_{02}) + ı_{Y} (ω_{12})) = \frac{k + 2}{k + 1}ı_{Y} (ω_{32}) − ı_{V ∧Y} (ω_{22})  (1)

est toujours satisfaite si on a

ı_{U}(ı_{V ∧Y} (ω_{01}) + ı_{Y} (ω_{11})) = \frac{k + 2}{k + 1}ı_{Y} (ω_{31}) − ı_{V ∧Y} (ω_{21})  (2)

et

ı_{U}(ı_{V} (Ω′)) = −1, ı_{U}(ı_{Y_{i}}(Ω′)) = 0.

Grace à cette condition les formes

ϕ_{0} = ı_{V ∧Y} (ω_{02}) + ı_{Y} (ω_{12}), ϕ_{1} = ı_{V ∧Y} (ω_{01}) + ı_{Y} (ω_{11}),
ϕ_{2} = Ω′^{−1}(V), ϕ_{i+2} = Ω′^{−1}(Y_{i}), 1 ≤ i ≤ n − k − 2.

sont linéarement indépendantes quelque soit V, Y_{i}, 1 ≤ i ≤ n − k − 2 involutifs et alors

ϕ_{0} ∧ ϕ_{1} ∧ ϕ_{2} ∧ Φ = 0,  (3)

où Φ = ϕ_{3} ∧ ... ∧ ϕ_{n−k}.

En considérant (??) comme une équation par rapport à V on obtient que

ı_{V ∧Y} (ω_{02}) ∧ ı_{V ∧Y} (ω_{01}) ∧ Ω′^{−1}(V) ∧ Φ+
[ı_{V ∧Y} (ω_{02}) ∧ ı_{Y} (ω_{11}) + ı_{Y} (ω_{12}) ∧ ı_{V ∧Y} (ω_{01})] ∧ Ω′^{−1}(V) ∧ Φ+
ı_{Y} (ω_{12}) ∧ ı_{Y} (ω_{11}) ∧ Ω′^{−1}(V) ∧ Φ = 0,

est satisfaite quelque soit V pour un choix de Y_{i}, 1 ≤ i ≤ n − k en involution. Soient ω_{11} ≠ 0 et ı_{Y} (ω_{11}) ≠ 0 sinon la démonstartion est plus simple. En posant dans la formule ci-dessus tV et en dérivant par t on arrive à

ı_{Y} (ω_{12}) ∧ ı_{Y} (ω_{11}) ∧ Ω′^{−1}(V) ∧ Φ = 0

pour t = 0 quelque soit V, Ω′(V, Y_{i}) = 0 et alors la restriction de ı_{Y} (ω_{12}) et de ı_{Y} (ω_{11}) sur ⋓KerΩ′^{−1}(Y_{i}) sont linéairement dépendantes. C’est-à-dire que ω_{12} s’annule sur tout sous-espace isotrope où s’annule ω_{11} et grace à la reccurence ω_{12} = λω_{11}.

En séparant des termes d’ordre 2 par V dans (??) et en dérivant par t deux fois nous obtenons pour t = 0:

[ı_{V ∧Y} (ω_{02}) − λı_{V ∧Y} (ω_{01})] ∧ ı_{Y} (ω_{11}) ∧ Ω′^{−1}(V) ∧ Φ = 0

et alors sur ∩KerΩ′^{−1}(Y_{i}) les formes ı_{V ∧Y} (ω_{02}−λω_{01}) et Ω′^{−1}(V) sont linéairement dépendantes. La forme ω_{02} − λω_{01} donc s’annule sur tout sous-espace lagrangien et puisque elle est effective, ω_{02} = λω_{01}.

En remplaçant V par U nous montrons que ω_{22} = λ′ω_{21}. Alors si ω_{01} ≠ 0, λ = λ′ partie gauche de (??) et partie gauche de (??) sont proportionnelles et

ı_{Y} (ω_{32} − λω_{31}) = 0

quelque soit Y_{i} involutifs et puisque ω_{32} − λω_{31} est une forme effective ω_{32} = λω_{31} et ω_{2} = λω_{1}.

Le cas θ_{01} = 0 est facile parce que

\frac{k + 2}{k + 1}ı_{Y} (θ_{32} − λθ_{31}) − ı_{V ∧Y} (λ − λ′)θ_{21}) = 0,

d’où (λ − λ′)ı_{Y} (θ_{21}) = 0 et si θ_{21} = 0, si λ = λ′.

Corollaire 9.4. Une forme ω ∈ Λ^{s}(C^{∗}) appartient à l’image d’opérateur ⊤ si et seulement si ω|_{L} = 0 pour tout sous-espace lagrangien L ⊂ C.

9.5. Idéal de Cartan. Tout espace des formes différentielles Λ^{k}(J^{1}(M)) s’identifie avec la somme directe de deux espaces des formes semi-basiques:

Λ^{k}(J^{1}(M)) = Λ^{k}(C^{∗}) ⊕ Λ^{k−1}(C^{∗})

(voir la Prop.2.1 de MA-4) On définie une projection p : Λ^{k}(J^{1}(M)) ↦ Λ^{k}(C^{∗}) en posant p(ω) = ω_{0} et un opérateur

d_{p} = p ∘ d : Λ^{k}(C^{∗}) ↦ Λ^{k+1}(C^{∗})

Proposition 9.5. L’opérateur d_{p} satisfait aux propriétées suivantes:

1.d_{p}(a_{1}ω_{1} + a_{2}ω_{2}) = a_{1}d_{p}(ω_{1}) + a_{2}d_{p}(ω_{2}), a_{i} ∈ ℝ, ω_{i} ∈ Λ^{k}(C^{∗}), i = 1, 2;
2.d_{p}(ω_{1} ∧ ω_{2}) = d_{p}(ω_{1}) ∧ ω_{2} + (−1)^{k}ω_{1} ∧ d_{p}(ω_{2});
3.d_{p}^{2} + ⊤ ∘ L_{X_{1}} = 0;
4.d_{p} ∘ d = 0;

5.⊤ ∘ d_{p} = d_{p} ∘ ⊤;
6.d_{p}(f) = −i_{X_{f}} (dU_{1}), f ∈ C^{∞}(J^{1}(M)).

Preuve On va démontrer (3.),(5.) et (6.):

d_{p}^{2}(ω) = p ∘ d ∘ p(dω) = p ∘ d(dω − U_{1} ∧ i_{X_{1}}(dω) =
−p(dU_{1} ∧ i_{X_{1}}(dω)) + p(U_{1} ∧ di_{X_{1}}(dω)) =

−dU_{1}∧i_{X_{1}}(dω)+U_{1}∧i_{X_{1}}(dU_{1}∧i_{X_{1}}(dω))+U_{1}∧d(i_{X_{1}}(dω))−U_{1}∧i_{X_{1}}(U_{1}∧d(i_{X_{1}}(dω))) =

−⊤ ∘ L_{X_{1}}(ω);

Pour (5.) on obtient

⊤ ∘ d_{p}(ω) = ⊤ ∘ pd(ω) = ⊤(dω − U_{1} ∧ i_{X_{1}}(dω)) =
dU_{1} ∧ dω − dU_{1} ∧ U_{1} ∧ i_{X_{1}}(dω)) = dU_{1} ∧ dω − U_{1} ∧ dU_{1} ∧ i_{X_{1}}(dω)) =
dU_{1} ∧ dω − U_{1} ∧ i_{X_{1}}(dU_{1} ∧ dω)) = p(dU_{1} ∧ dω) = d_{p} ∘ ⊤(ω).

Finalement,

d_{p}f = df − X_{1}(f)U_{1} = X_{f}(dU_{1}).

Même résultat en utilisant les coordonnées locales (q, u, p) : Si

ω = ∑_{I,J} f_{I,J}(q, u, p)dq_{I} ∧ dp_{J} ∈ Λ^{k}(C^{∗}), |I| + |J| = k,

alors

d_{p}(∑_{I,J} f_{I,J}(q, u, p)dq_{I} ∧ dp_{J}) = d_{p}(∑_{I,J} f_{I,J}(q, u, p))dq_{I} ∧ dp_{J},

où

d_{p}(∑_{I,J} f_{I,J}(q, u, p)) = ∑_{i=1}^{n}[\frac{∂f_{I,J}}{∂p_{i}} dp_{i} + (\frac{∂f_{I,J}}{∂q_{i}} + p_{i} \frac{∂f_{I,J}}{∂u} )dq_{i}].

On note C^{∗} l’idéal engendré par U_{1} et dU_{1} dans Λ^{∗}(J^{1}(M)).

C^{∗} = {ω ∈ Λ^{∗}(J^{1}(M)|ω = U_{1} ∧ α + dU_{1} ∧ β}

On a une décomposition par les composantes homogènes C^{∗} = ⊕_{k=0}^{2n}C^{k}.

Le corollaire 9.4 du théorème 9.5 implique que C^{k} est l’ensemble de k-formes différentielles ω telles que ω|_{L} = 0 pour toute sous-variétée de Legendre L ⊂ J^{1}(M) et C^{0} = 0, C^{k} = Λ^{k}(J^{1}(M)), k ≥ n + 1.

Le quotient Λ^{k}(J^{1}(M))/C^{k} est isomorphe au module des k-formes effectives Λ_{ϵ}^{k}(J^{1}(M)) en vertu de la décomposition de Hodge - Lepage - Lychagine.

Définition 9.4. L’déal C^{∗} est dit de Cartan.

9.6. Application aux opérateurs de Monge-Ampère. Soient ω et ω′ deux n-formes sur J^{1}(M) telles que les opérateurs de Monge-Ampère correspondants Δ_{ω} et Δ_{ω′} soient egaux, alors pour toute sous-variété de Legendre L ⊂ J^{1}(M) on a

(ω − ω′)|_{L} = 0,

d’où

ω − ω′ = U_{1} ∧ α + dU_{1} ∧ β ∈ C^{n} = Λ^{n}(J^{1}(M))/Λ_{ϵ}^{n}(J^{1}(M)).

On en déduit que l’opérateur Δ_{ω} est iniquement déterminé par la partie effective ω_{0} de ω : Δ_{ω} = Δ_{ω_{0}}.

A partir de maintenant on suppose que Δ_{ω} est défini par une forme effective.

9.7. Cohomologie de De Rham.

Proposition 9.6. L’idéal de Cartan est un idéal férmé par rapport à la dérivation extérieure: dC^{k} ⊂ C^{k+1};

Preuve: Soit ω ∈ C^{k}, alors

ω = U_{1} ∧ α + dU_{1} ∧ β,

où α ∈ Λ^{k−1}(C^{∗}) et β ∈ Λ^{k−2}(C^{∗}) et

dω = −U_{1} ∧ dα + dU_{1} ∧ (α + dβ)  (4)

Nous pouvons démontrer

Lemme 9.3.

dω = −U_{1} ∧ d_{p}(α + d_{p}β) + dU_{1} ∧ (α + d_{p}β)  (5)

Preuve: Soit ω ∈ C^{k},

ω = U_{1} ∧ i_{X_{1}}(ω) + p(ω)

alors p(ω)|_{L} = 0 quelque soit la sous-variété de Legendre L et donc (grace au corollaire 9.4) p(ω) = ⊤β. Maintenant,

dα = d_{p}(α) + U_{1} ∧ i_{X_{1}}(dα);
dβ = d_{p}(β) + U_{1} ∧ i_{X_{1}}(dβ),

et en combinaison avec (??) on a le résultat.

Théorème 9.6. Le complexe

0 ↦ C^{1} ↦ C^{}↦ ... ↦ C^{k} ↦ ... ↦ C^{2n+1} ↦ 0  (6)

est exacte pour toute degré k sauf pour k = n + 1 Démonstration Si la forme ω = U_{1} ∧ α + dU_{1} ∧ β est fermée on a (grace à lemme 9.3)

d_{p}(α + d_{p}β) = 0, ⊤(α + d_{p}β) = 0.

Alors si ω ∈ C^{k} et k < n + 1 nous avons α + d_{p}β = 0 puisque ⊤ est monomorphisme et ω = d(U_{1} ∧ β)(grace à lemme 9.3).

c q f d

9.8. Opérateur d’Euler.

Définition 9.5. L’opérateur linéair différentiel du second ordre

E : Λ_{ϵ}^{n} ↦ Λ_{ϵ}^{n},
E = L_{1} + d_{p}⊥d_{p}

est dit l’op’erateur d’Euler et la forme effective ω ∈ KerE s’appélle une forme divergente.

Théorème 9.7. L’opérateur d’Euler satisfait les rélations suivantes:

a)[E, L_{X_{1}}] = 0;
b)d_{p}E = 0;
c)E^{2} = L_{X_{1}} ∘ E;
d)E(fω) = fE(ω) + X_{1}(f)ω + d_{p}f ∧ ⊥d_{p}ω + d_{p}i_{X_{f}} ω.

pour toute ω ∈ Λ_{ϵ}^{n}

Preuve

b)

d_{p}E = d_{p} ∘ L_{X_{1}} + d_{p}^{2} ∘ ⊥ ∘ d_{p} = d_{p} ∘ L_{X_{1}} − ⊤⊥ ∘ d_{p} ∘ L_{X_{1}} =
d_{p} ∘ L_{X_{1}} + [⊥, ⊤] ∘ d_{p} ∘ L_{X_{1}} − ⊥ ∘ ⊤d_{p} ∘ L_{X_{1}} =
d_{p} ∘ L_{X_{1}} − d_{p} ∘ L_{X_{1}} − ⊥ ∘ d_{p} ∘ L_{X_{1}} ∘ ⊤ = 0;

c)

d_{p} ∘ ⊥ ∘ d_{p} ∘ d_{p} ∘ ⊥ ∘ d_{p} = −L_{X_{1}} ∘ d_{p} ∘ ⊥ ∘ ⊤ ∘ ⊥ ∘ d_{p} = −L_{X_{1}} ∘ d_{p}[⊥, ⊤] ∘ ⊥ ∘ d_{p} =

−L_{X_{1}} ∘ d_{p} ∘ ⊥ ∘ d_{p}.

et alors

E^{2} + L_{X_{1}}^{2} + 2L_{X_{1}} ∘ d_{p} ∘ ⊥ ∘ d_{p} − L_{X_{1}} ∘ d_{p} ∘ ⊥ ∘ d_{p} = L_{X_{1}} ∘ E;

d)

d_{p} ∘ ⊥ ∘ d_{p}(fω) = d_{p} ∘ ⊥(d_{p}f ∧ ω + fd_{p}ω) =
d_{p}i_{X_{f}} ω + d_{p}(f⊥d_{p}ω) = d_{p}i_{X_{f}} ω + d_{p}f ∧ ⊥d_{p}ω + fd_{p}⊥d_{p}ω.

Théorème 9.8. Une classe ω+C^{n} d’une forme effective ω ∈ Λ^{n}(J^{1}(M)) contient une forme fermée si et seulement si ω est une forme divergente.

Démonstration

En utilisant l’isomorphisme ⊤ : Λ^{n−1}(C^{∗}) ↦ Λ^{n+1}(C^{∗}) on a d_{p}ω = ⊤ω̃, où la forme ω̃ est effective puisque

⊤_{2}(ω̃) = 1/2⊤d_{p}ω = 1/2d_{p}⊤ω = 0.

Alors

⊥d_{p}ω = ⊥ ∘ ⊤ω̃ = [⊥, ⊤](ω̃) = ω̃.

Ensuite, soient α ∈ Λ^{n−1}(C^{∗}), βinΛ^{n−2}(C^{∗}) telles que

d(ω + U_{1} ∧ α + dU_{1} ∧ β) = 0.

Grace à lemme 9.3 on obtient

dω − U_{1} ∧ d_{p}(α + d_{p}β) + dU_{1} ∧ (α + d_{p}β),

et puisque dω = d_{p}ω + U_{1} ∧ L_{X_{1}}ω on a

U_{1} ∧ (L_{X_{1}}ω − d_{p}(α + d_{p}β)) + dU_{1} ∧ (ω̃ + α + d_{p}β) = 0.

En effet, pour validité de l’ennonce du théorème il suffit et neccessaire d’avoir une résolution du système:

L_{X_{1}}ω = d_{p}(α + d_{p}β), ω̃ = −α − d_{p}β.

La condition neccessaire de ceul-ci est L_{X_{1}}ω + d_{p}ω̃ = 0, ou E(ω) = 0.

Mais la meme condition est aussi suffisante puisque si E(ω) = 0, on posant β = 0, α = −ω̃ on obtient d(ω − U_{1} ∧ ω̃) = 0. c q f d

Corollaire 9.5. Soit ω effective et divergente, alors,

d(ω − U_{1} ∧ ⊥d_{p}ω) = 0.

Corollaire 9.6. La suite courte

0 ↦ Kerd/Imd ↦ H_{ϵ}^{n} ↦ Λ_{ϵ}^{n}/KerE ↦ 0

est exacte.

Ici nous avons noté par H_{ϵ}^{n} le cohomologie du complexe quotient des formes effectives

d_{ϵ} : Λ_{ϵ}^{k} = Λ^{k}(J^{1}(M))/C^{k} ↦ Λ_{ϵ}^{k+1} = Λ^{k+1}(J^{1}(M))/C^{k+1}.

Le théorème 9.6 implique que

H_{ϵ}^{k} = H_{DR}^{k}(M),

sauf k = n = dimM.

Théorème 9.9. Soit ω ∈ Λ_{ϵ}^{n}(J^{1}(M)), alors

p(L_{X_{f}} ω) = fE(ω) + d_{p}(i_{X_{f}} ω − f⊥d_{p}ω) + ⊤(i_{X_{f}} ⊥d_{p}ω)

Démonstration

En applicant la formule de Stokes infinitesimale:

p(L_{X_{f}} ω) = d_{p}ı_{X_{f}} ω + p(ı_{X_{f}} dω) = d_{p}ı_{X_{f}} ω + ı_{X_{f}} d_{p}ω + fL_{X_{f}} ω =
fE(ω) − fd_{p} ∘ ⊥ ∘ d_{p}(ω) + d_{p}ı_{X_{f}} ω + ı_{X_{f}} d_{p}ω =
fE(ω) + d_{p}(ı_{X_{f}} ω − f⊥d_{p}ω) + ı_{X_{f}} d_{p}ω + d_{p}f ∧ ⊥d_{p}ω.

Puisque d_{p}ω = ⊤⊥d_{p}ω nous avons que

ı_{X_{f}} d_{p}ω = −d_{p}f ∧ ⊥d_{p}ω + ⊤(ı_{X_{f}} ⊥d_{p}ω).

9.9. Lois de conservation. Soit ω ∈ Λ_{ϵ}^{n} et Δ_{ω} est l’opérateur de Monge - Ampère correspondant

Définition 9.6. Une forme γ ∈ Λ^{n}(J^{1}(M)) est une lois de conservation pour l’opérateur Δ_{ω} si la restriction γ|_{L} sur toute solution L de Δ_{ω} : ω|_{L} = 0 est une forme fermée.

Théorème 9.10. Soit M topologiquement triviale (H^{n}(M) = 0) Les lois de conservation (à (n − 1)-formes exactes sur J^{1}(M) près) sont en bijection avec des solutions de l’équation E(fω) = 0.

La loi de conservation γ telle que

dγ = fω − U_{1} ∧ ⊥d_{p}(gω)

correspond à une telle solution f.